Соотношения между матричными элементами

1. Для эрмитового оператора выполняется

. (4)

Комплексное сопряжение матричного элемента обращает направление перехода между состояниями, т. е. обращает течение времени:

.

Доказательство

С учетом (1)

,

получаем

.

Третье равенство получено из условия эрмитовости (3)

.

Следствия

Если матричные элементы вещественные, тогда из (4)

получаем

. (4а)

Матрица перехода симметрична относительно главной диагонали.

Если матричный элемент мнимый, тогда из (4) находим

. (4б)

Матрица перехода антисимметрична относительно главной диагонали.

2. Матричный элемент произведения эрмитовых операторов выражается через матричные элементы каждого из них, и выполняется правило Фейнмана

(5)

– переход под действием произведения операторов происходит через все возможные промежуточные состояния k, в которых оказывается система под действием оператора .

При доказательстве (5) используется полнота базиса функций состояния и фильтрующее свойство дельта-функции (см. учебник).

Вычисление матричных элементов

1. Для матричного элемента оператора координаты гармонического осциллятора доказать

, (П.4.6)

где .

Для оператора вычислим матричный элемент

.

Для нахождения интеграла воспользуемся формулой ортонормированности базиса . Для этого нужно устранить множитель z под интегралом. Используем рекуррентное соотношение (6.34)

,

тогда с учетом

.

Получаем

.

Используем условия ортонормированности (6.33)

,

получаем (П.4.6)

.

В частности

,

,

. (П.4.7)

Колебания осциллятора происходят симметрично относительно нулевой координаты, поэтому среднее положение равно нулю в любом состоянии.

Матричные элементы (П.4.6) вещественные, тогда из (4а)

получаем матрицу перехода, симметричную относительно главной диагонали:

.

2. Для оператора импульса найти матричный элемент

,

где

;

; – безразмерная.

Интеграл в сводится к формуле ортонормированности после устранения производной под интегралом. Для этого используем рекуррентное соотношение (6.39)

.

Получаем

Вычисляем интегралы при помощи условия ортонормированности

,

находим

.

Частные результаты:

,

,

.

Матричный элемент импульса

. (П.4.11)

Частные значения

при : ,

при : ,

при , : ,

при , : ,

,

среднее значение

. (П.4.12)

Среднее значение проекции импульса осциллятора в любом состоянии равно нулю, что очевидно из симметрии колебаний по- и против оси x.