4.3 Матричний метод
Матричний метод рішення (метод рішення через зворотну матрицю) систем лінійних алгебраїчних рівнянь з ненульовим визначником полягає в наступному. Нехай дана система лінійних рівнянь з n невідомими (над довільним полем):
Тоді її можна переписати в матричній формі:
AX = B, де A - основна матриця системи, B і X - стовпці вільних членів і рішень системи відповідно:
Помножимо це
матричне рівняння
зліва на
-
матрицю,
зворотний до матриці
:
Так як
,
отримуємо
.
Права частина
цього рівняння
дасть
стовпець
рішень
вихідної системи.
Умовою
застосовності
даного методу
(як і взагалі
існування розв'язку
неоднорідної системи
лінійних
рівнянь з
числом рівнянь,
рівним
числу невідомих)
є невиродженість
матриці A.
Необхідною і достатньою
умовою цього є
нерівність
нулю
визначника
матриці A:
Для однорідної системи лінійних рівнянь, тобто коли вектор B = 0, дійсно зворотне правило: система AX = 0 має нетривіальне (тобто ненульове) рішення тільки якщо
det A = 0. Такий зв'язок між рішеннями однорідних і неоднорідних систем лінійних рівнянь носить назву альтернативи Фредгольма.
5. Практична частина Excel
5.1 Метод Крамера
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
1 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
|
|
|
|
|
2 |
-4 |
0 |
-8 |
-4 |
4 |
|
|
|
|
3 |
6 |
-2 |
-6 |
-6 |
18 |
|
|
|
|
4 |
-4 |
2 |
-8 |
-8 |
-2 |
|
|
|
|
5 |
0 |
-8 |
-6 |
-8 |
30 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
Матрица дельта |
|
|
|
|
Свободные члены |
Дельта |
Корни |
|
9 |
-4 |
0 |
-8 |
-4 |
|
4 |
2688 |
x1= |
1 |
10 |
6 |
-2 |
-6 |
-6 |
|
18 |
|
x2= |
-3 |
11 |
-4 |
2 |
-8 |
-8 |
|
-2 |
|
x3= |
-1 |
12 |
0 |
-8 |
-6 |
-8 |
|
30 |
|
x4= |
0 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
Матрица дельта 1 |
|
|
|
|
|
Дельта 1 |
|
|
15 |
4 |
0 |
-8 |
-4 |
|
|
2688 |
|
|
16 |
18 |
-2 |
-6 |
-6 |
|
|
|
|
|
17 |
-2 |
2 |
-8 |
-8 |
|
|
|
|
|
18 |
30 |
-8 |
-6 |
-8 |
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
Матрица дельта 2 |
|
|
|
|
|
Дельта 2 |
|
|
21 |
-4 |
4 |
-8 |
-4 |
|
|
-8064 |
|
|
22 |
6 |
18 |
-6 |
-6 |
|
|
|
|
|
23 |
-4 |
-2 |
-8 |
-8 |
|
|
|
|
|
24 |
0 |
30 |
-6 |
-8 |
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
Матрица дельта 3 |
|
|
|
|
|
Дельта 3 |
|
|
27 |
-4 |
0 |
4 |
-4 |
|
|
-2688 |
|
|
28 |
6 |
-2 |
18 |
-6 |
|
|
|
|
|
29 |
-4 |
2 |
-2 |
-8 |
|
|
|
|
|
30 |
0 |
-8 |
30 |
-8 |
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
Матрица дельта 4 |
|
|
|
|
|
Дельта 4 |
|
|
33 |
-4 |
0 |
-8 |
4 |
|
|
0 |
|
|
34 |
6 |
-2 |
-6 |
18 |
|
|
|
|
|
35 |
-4 |
2 |
-8 |
-2 |
|
|
|
|
|
36 |
0 |
-8 |
-6 |
30 |
|
|
|
|
|
Пояснення:
1) Ячейки (A2: D5) заповнюємо значеннями коефіцієнтів перед x1, x2, x3, х4 кожного рівняння системи. Це ми сформували матрицю системи
2) Ячейки (E2:E5) заповнюємо значеннями вільних членів. Це ми сформували стовпець вільних членів
3) Випишемо матрицю дельта (A9:D12) та стовпець вільних членів (F9:F12)
4) Запишемо матрицю дельта 1: стовпець (А9:А12) заміняємо на стовпець вільних членів (F9:F12)
5) Запишемо матрицю дельта 2: стовпець (B9:B12) заміняємо на стовпець вільних членів (F9:F12)
6) Запишемо матрицю дельта 3: стовпець (C9:C12) заміняємо на стовпець вільних членів (F9:F12)
7) Запишемо матрицю дельта 4: стовпець (D9:D12) заміняємо на стовпець вільних членів (F9:F12)
8) Тепер треба знайти дельта. Для цього записуємо в G9 функцію (=МОПРЕД(A9:D12))
9) Аналогічно восьмому пункту знаходимо інші дельти
10) Щоб знайти х1 треба дельта 1 поділити на дельта (G15/G9). Аналогічно знаходимо х2, х3, х4.
Таким чином у ячейках (I9:I12) ми отримали корені системи.