Задача №3.
Построить математическую модель задачи линейного программирования и решить задачу.
Для участия в соревнованиях спортклуб должен выставить команду, состоящую из спортсменов I и II разрядов. Соревнования проводятся по бегу, прыжкам в высоту, прыжкам в длину. В беге должны участвовать 5 спортсменов, в прыжках в длину – 8 спортсменов, а в прыжках в высоту – не более 10. Количество очков, гарантируемых спортсмену каждого разряда по каждому виду, указано в следующей таблице:
Разряд |
Бег |
Прыжки в высоту |
Прыжки в длину |
I |
4 |
5 |
5 |
II |
2 |
3 |
3 |
Распределите спортсменов в команды так, чтобы сумма очков команды была наибольшей, если известно, что в команде I разряд имеют только 10 спортсменов.
Решение.
Составим математическую модель задачи:
Пусть количество спортсменов I разряда участвующих в беге будет х1; в прыжках в длину - х2, в прыжках в высоту – х3, а количество спортсменов II разряда участвующих в беге будет х4; в прыжках в длину - х5, в прыжках в высоту – х6.
Максимизируем целевую функцию f(x) = 4х1 + 5х2 + 5х3 + 2х4 + 3х5 + 3х6 при ограничениях:
(2)
Решим задачу с помощью MS Excel. Сервис – Поиск решения
|
Переменные |
|
|
|
|
|
|||
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
|
|
|
Значение |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
ЦФ |
Напр |
|
Коэф. В ЦФ |
4 |
5 |
5 |
2 |
3 |
3 |
0 |
макс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ограничения |
|
|
|
|
|
|||
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
левая часть |
знак |
правая часть |
Ограничение по бегу |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
= |
5 |
Ограничение по пр.в дл. |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
= |
8 |
Ограничение по пр. в. выс. |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
<= |
10 |
Ограничение по кол-ву I р. |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
= |
10 |
|
Переменные |
|
|
|
|
|
|||
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
|
|
|
Значение |
5 |
5 |
0 |
0 |
3 |
10 |
ЦФ |
Напр |
|
Коэф. В ЦФ |
4 |
5 |
5 |
2 |
3 |
3 |
84 |
макс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ограничения |
|
|
|
|
|
|||
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
левая часть |
знак |
правая часть |
Ограничение по бегу |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
5 |
= |
5 |
Ограничение по пр.в дл. |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
8 |
= |
8 |
Ограничение по пр. в. выс. |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
10 |
<= |
10 |
Ограничение по кол-ву I р. |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
10 |
= |
10 |
Оптимальная производственная программа:
Для достижения максимальной суммы очков команды, равной 84 балла, необходимо выставить на соревнования 5 спортсменов I разряда в беге, 5 спортсменов I разряда в прыжках в длину, 3 спортсмена II разряда в прыжках в длину и 10 спортсменов II разряда в прыжках в высоту.
Спортсменов I разряда не следует выставлять на прыжки в высоту, а спортсменов II разряда не следует выставлять в соревнованиях по бегу.