Приклади, які можуть бути використані для організації самостійної роботи учнів.

Розв’язати нерівність:

1. 

Відповідь. .

2. 

Відповідь. .

3. 

Відповідь. .

4. 

Відповідь. .

5. 

Відповідь. .

6. 

Відповідь.

7. 

Відповідь. .

8. 

Відповідь. .

Урок 14-15

Тема. Використання властивостей монотонності функції для ірраціональних нерівностей.

Мета. Формувати вміння використовувати властивості монотонності функції для розв’язування ірраціональних нерівностей, формувати навики застосування елементів математичного аналізу для розв’язування ірраціональних нерівностей.

Короткі теоретичні відомості

Використання властивостей монотонності для розв’язування ірраціональних нерівностей.

Розв’язати нерівність .

Розглянемо функцію .

Область визначення .

Дослідимо функцію на монотонність.

при .

Похідна не існує при х=-15 і х=2.

Отже, функція зростає при . при х=1.

х=1 – єдине значення аргументу, при якому функція перетворюється в нуль ( зростає) і для всіх в області визначення . Отже, .

У деяких випадках ірраціональні нерівності можна розв’язувати методом інтервалів.

Нагадаємо суть цього методу.

Якщо функція визначена і неперервна на інтервалі і не має на ньому нулів, то для всіх функція зберігає свій знак. На цьому твердженні базується загальний метод розв’язування нерівностей – метод інтервалів.

Нехай потрібно розв’язати нерівність . Для цього:

1. знаходимо область визначення функції ;

2. знаходимо нулі функції (розв’язуємо рівняння );

3. нулями функції розбиваємо область визначення на інтервали знакосталості;

4. встановлюємо знак функції на кожному інтервалі;

5. записуємо розв’язки нерівності.

Приклади розв’язування вправ

Приклад 1. Розв’язати нерівність .

.

Знаходимо область визначення з нерівності , .

Розв’язуємо рівняння , .

Наносимо відповідні точки на числову вісь і встановлюємо знак функції на кожному з інтервалів.

Отже, .

Відповідь.

Приклад 2. Розв’язати нерівність .

.

Область визначення .

Знайдені нулі функції розбивають числову вісь на проміжки знакосталості:

Отримуємо: при .

Відповідь. .

Приклад 3. Розв’язати нерівність .

.

Область визначення:

Знаходимо нулі функції.

Це рівняння має єдиний корінь , який розбиває область визначення на два інтервали і . Визначимо знак функції на кожному інтервалі. Взявши, наприклад, знаходимо, . На другому інтервалі візьмемо , отримуємо . Таким чином, дана нерівність розв’язків не має.

Відповідь. .

Приклад 4. Використати елементи математичного аналізу під час розв’язування нерівності .

Функція означена і неперервна на множині . . Функція має . Порівнюючи і робимо висновок: – розв’язок нерівності.

Відповідь.

Приклади, які можуть бути використані для організації самостійної роботи учнів.

Розв’язати нерівність:

1. 

Відповідь. .

2. 

Відповідь. .

3. 

Відповідь. .

4. 

Відповідь. .

5. 

Відповідь. .

6. 

Відповідь. .

7. 

Відповідь. .

8. 

Відповідь. .