Урок 16-17

Тема. Розв’язування ірраціональних нерівностей, використовуючи метод введення нової змінної.

Мета. Навчити знаходити необхідну заміну при розв’язуванні ірраціональних нерівностей, які потребують введення нової змінної.

Приклади розв’язування вправ

Приклад 1. Розв’язати нерівність (1).

Нехай , тоді нерівність (1) матиме вигляд: .

Ця нерівність рівносильна системі нерівностей:

Звідси , тому , отже .

Відповідь. .

Приклад 2. Розв’язати нерівність .

Підносимо обидві частини нерівності до кубу:

Позначимо , отримуємо , звідки . Враховуючи заміну, матимемо:

.

Відповідь. .

Приклад 3. Розв’язати нерівність .

Підносимо обидві частини нерівності до кубу:

Нехай , тоді:

Отже, , значить .

Відповідь. .

Приклад 4. Розв’язати нерівність .

Вираз при всіх .

Поділимо нерівність на цей вираз.

1. , тобто х=3. х=3 задовольняє дану нерівність, бо ;

2. . Тоді .

Нехай , тоді тобто .

Враховуючи заміну, одержимо:

Звідси .

Врахувавши випадки 1) і 2) одержимо

Відповідь. .

Приклад 5. Розв’язати нерівність .

Нехай , тоді:

Повертаємось до заміни:

.

Відповідь. .

Приклад 6. Розв’язати нерівність .

Нехай , тоді . Нерівність набуває вигляду:

1. При :

Тобто у=1.

2. При :

Нерівність правильна при всіх .

Повертаємось до змінної х:

або

Отже, .

Відповідь. .

Приклади, які можуть бути використані для організації самостійної роботи учнів.

Розв’язати нерівність:

1. 

Відповідь.

2. 

Відповідь.

3. 

Відповідь.

4. 

Відповідь.

5. 

Відповідь.

6. 

Відповідь.

7. 

Відповідь.

8. (Заміна: )

Відповідь.

Урок 18-20

Тема. Ірраціональні нерівності з параметрами.

Мета. Формувати навички і вміння розв’язувати ірраціональні нерівності з параметрами, використовуючи різні способи, в тому числі геометричну інтерпретацію.

Короткі теоретичні відомості

Змінні a, b, c, …, k, …, які при розв’язуванні нерівності вважаються сталими, називаються параметрами, а нерівність називається нерівністю з параметрами.

Умовились параметри позначати першими літерами латинського алфавіту: a, b, c, d, …, k, l, m, а невідомі – літерами x, y, z.

Для розбиття множини значень параметра на підмножини зручно скористатись тими значеннями параметра, при яких чи при переході через які проходять суттєві зміни нерівності. Такі значення параметра називають контрольними.

Приклади розв’язування вправ

Приклад 1. Розв’язати нерівність

1)

Звідси випливає, якщо , то , якщо , то .

2)

Дискримінант квадратного тричлена :

Якщо , то .

Якщо , то .

Якщо , то потрібно розв’язати сукупність таких двох систем нерівностей:

Відповідь. Якщо

якщо

якщо .

Приклад 2. Розв’язати нерівність .

1) , то , .

Область визначення в цьому випадку . При всіх нерівність виконується.

2) .

Область визначення:

Тоді нерівність виконується для всіх , бо її ліва частина від’ємна, а права – невід’ємна.

3) .

а) якщо , то нерівність виконується;

б) якщо , то , тобто .

Отже,

Значить, .

Відповідь:

Приклад 3. Розв’язати нерівність .

, тобто а і х – одного знака.

Якщо , то нерівність розв’язків не має.

Нехай , то і .

Якщо а=0, то .

Якщо ( ), то , тобто .

Відповідь. Якщо , то .

Приклад 4. Розв’язати нерівність .

Область визначення:

При цій умові одержуємо , тобто , .

Розглянемо і .

При вказаних а і х можна піднести дану нерівність до квадрата.

,

(1)

Розглянемо два випадки:

1) , тобто .

При таких значеннях а нерівність виконується для всіх х з області визначення ( ).

2) .

Якщо а=0, то допустимим є лише х=0. при таких значеннях а і х нерівність (1) не виконується.

Якщо , то ,

,

, тобто .

При цьому , тобто , бо . , бо нерівність строга ( ).

Перевіряємо, чи належить х області визначення :

, тобто всі знайдені х входять в область визначення.

Відповідь. Якщо , то ;

якщо , то ;

якщо і , то .

Приклад 5. Розв’язати нерівність .

Область визначення , то .

1)

.

Нерівність правильна при будь-якому х з області визначення.

2)

Нерівність правильна при будь-якому х з області визначення.

3) , то:

Але , тому .

Відповідь. При ; при .

Приклад 6. Розв’язати нерівність

Область визначення: , тобто .

1. а=0, то нерівність правильна при будь-якому х з області визначення.

2. , то , де при будь-якому х з області визначення.

3. , то ,

Але , то .

Відповідь. При , , при .

Приклад 7. Розв’язати нерівність

В лівій і правій частинах нерівності знаходяться невід’ємні вирази. Тому враховуючи область визначення можна піднести ліву і праву частини нерівності до квадрата.

Остання нерівність виконується при всіх з області визначення, тому:

Порівняємо числа а, -а, 0.

1. При

2. При

.

Область визначення: .

1. При розв’язків немає.

2. При : але

Відповідь. При ; при .

Приклад 8. Розв’язати нерівність

1. При будь-якому значенні а, якщо , тобто , задана нерівність правильна.

2. При : , тому:

(1), .

Розглянемо можливі випадки:

а) , то Об’єднуючи з множиною , одержимо .

б) а=1, – розв’язок системи (1). Об’єднуючи з множиною , (а=1) знаходимо: х – будь-яке число.

в) . Розв’язок системи (1) . Приєднавши , маємо: х – будь-яке число.

Відповідь. Якщо , то , якщо то .

Приклад 9. Розв’язати нерівність

Нехай – розв’язок нерівності. Тоді нерівність буде правильною.

Якщо замінити а на –а ця нерівність перейде сама в себе.

Отже, якщо є розв’язком нерівності для , то – розв’язок нерівності і для .

Тому розв’яжемо дану нерівність для .

1. , то , значить .

2. , то .

Домножимо обидві частини даної нерівності на додатній вираз :

;

;

.

Піднесемо ліву і праву частини нерівності до куба:

.

Нехай . Тоді:

Отже, при .

Поширивши знайдений розв’язок на випадок одержимо, дана нерівність взагалі не має розв’язків.

Відповідь. Нерівність розв’язків не має.

Приклад 10. Розв’язати нерівність

Побудуємо графіки функцій і

Область визначення: . Якщо , то:

Якщо , то пряма дотикається до півкола.

Відповідь. Якщо , то ; якщо , то ; якщо , то ; якщо , то .

Приклад 11. Розв’язати нерівність

Побудуємо графіки функцій і

Якщо , тобто , то:

– точки перетину графіків.

Відповідь. Якщо , то ; якщо , то ; якщо , то .

Приклад 12. Розв’язати нерівність

Побудуємо графіки функцій - це півколо радіуса з центром та

Якщо , тобто , то:

Відповідь. Якщо , то ; якщо , то .