15. Момент силы. Основной закон динамики для вращательного движения.

Следует различать момент силы относительно точки и относительно оси.

Если сила F приложена к мат. тоске A, то моментом силы M относительно неподвижной произвольной точки O называется векторное произведение радиус-вектора, проведенного из точки O в точку A, на силу F.

Направление вектора M определяется правилом правого буравчика: вращаем буравчик от первого вектора r по кротчайшему пути ко второму вектору F. Поступательное движение оси буравчика покажет направление M.

Моментом силы относительно неподвижной произвольной оси z называется скалярная величина M_z , равная проекции на эту ось вектора M момента силы, определенного относительно произвольной точки O данной оси z. Значение момента M_z не зависит от выбора положения точки O на оси z.

Модуль момента силы относительно оси – это произведение модуля силы на ее плечо.

Рассмотрим мат. точку А, массой m, движ. по окружности. Пусть на нее действ постоянная сила F (направл. по касательной).

Данное выражение – основное уравнение динамики вращательного движения для мат. точки: угловое ускорение точки при ее вращении вокруг неподвижной оси пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции.

Произведение момента инерции твердого тела на его угловое ускорение равно сумме моментов внешних сил, которые действуют на это тело.

16. Закон сохранения момента импульса. Работа силы при вращении твердого тела.

Моментом импульса (количества движения) мат. точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением: , где - радиус-вектор, проведенный из точки О в точку А, - импульс мат. точки

- момент импульса отдельной частицы, направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.

При вращательном движении тела, каждая его частица движется по окружности со своей скоростью. Момент импульса вращающегося тела равен сумме моментов импульса отдельных его частиц.

Изменение момента импульса равно импульсу момента силы

Итак, это выражение представляет собой вторую формулу закона динамики вращательного движения.

Если суммарный момент внешних сил равен нулю, т.е. M=0, то и векторная сумма момента импульса не изменяется с течением времени.

Закон сохранения момента импульса: Сумма моментов импульса всех тел изолированной системы сохраняется неизменной.

Допустим, что у вращающегося тела происходит увеличение момента инерции, тогда угловая скорость уменьшается:

Работа силы при вращении твердого тела

Работа силы при поступательном движении определяется изменением кинетической энергии тела.

Элементарная работа, совершаемая при вращении тела, равна скалярному произведению сил к элементарному углу поворота. Тогда работа при конечном угла поворота равна:

17. Гироскопический эффект. Прецессия Гироскопа.

Гироскоп – достаточно массивное однородное тело, быстро вращ. вокруг своей оси, являющейся свободной осью (свободная ось – ось вращения тела, которая не изменяет своей ориентации в пространстве без действия на нее внешних сил).

Если момент внешних сил равен 0, т.е. L=const, то свое положение в пространстве сохраняет и ось гироскопа. Чтобы ось гироскопа изменила свое направление в пространстве, необходимо наличие момента внешних сил. При этом наблюдается гироскопическое явление.

Гироскопическое явление: Под действием пары сил F, приложенных к оси вращения, ось гироскопа О₁ поворачивается вокруг О₃, а не вокруг О₂, как это казалось естественным. Гироскопический эффект объясняется следующим образом. Момент M пары сил F направлен вдоль прямой О₂. За время dt момент импульса гироскопа L изменится на величину dL=Mdt, причем направление момента силы M совпадает с направлением dL, и станет равным . Направление вектора L’ совпадает с новым направлением оси гироскопа. Т.о. ось гироскопа повернется вокруг прямой О₃.

Если время действия внешней силы мало, то изменение момента импульса dt гироскопа также будет малым. Поэтому кратковременное действие практически не приведет к изменению ориентации оси гироскопа в пространстве. А для ее изменения приходится прикладывать силу в течение длительного времени.

18. Напряженность гравитационного поля. Работа в поле тяготения. Потенциал поля тяготения. Космические скорости.

Закон всемирного тяготения определяет зависимость силы тяготения от масс взаимодействующих тел и расстояния между ними, но он не показывает, как осуществляется это взаимодействие. Силы тяготения не зависят от того, в какой среде находятся взаимод. тела. Тяготение сущ. и в вакууме. Гравитационное взаимод. осущ. с помощью потя тяготения или гравитационного поля. Это поле порождается токами и явл. формой существования материи. Основное свойство гравитационного поля – на всякое тело массой m, внесенное в это поле, действует сила тяготения F=mg. вектор g не зависит от m и называется напряженностью поля тяготения. Напряженность поля тяготения опред. силой, действующей со стороны поля на мат. точку ед. массы и совпад. с направл. действующей силы. Напряженность есть силовая характеристика поля тяготения. Поле тяготения называют однородным, если его напряженность во всех точках равна. Для граф. изображ. напряженности используют силовые лени (линии напряженности). Силовые линии – линии, в каждой точке которых вектор напряженности поля направлен по касательной к силовой линии.

Вычислим, какую работу надо совершить для удаления тела массой m от Земли. На расстоянии R на тело действ. сила . При перемещении тела на R совершается работа . Знак «-» т.к. сила и перемещение противоп. направлены. При перемещении тела от R₁ до R_2, соверш. работа. . Из формулы видно, что работа в поле тяготения не зависит от траектории перемещения, а опред. начал. и конеч. положением тела. Т.е. работа по замкнутому пути равна 0. получим, что поле тяготения явл. потенциальным. Работа, соверш. потенц. силами = изменению потенц. энергии сист, взятому со знаком «-». . Сравнивая с предыдущей формулой, видно, что . Величина, равная назыв. потенциалом поля.

Потенциал поля – это энергетическая хар-ка поля, скалярная величина, показывающая, какую работу надо совершить над телом ед. массы для перемещения из данной точки в бесконечность. Физ. смысл – потенциал – это потенциальная энергия тела ед. массы. ГМТ с одинаковым потенциалом наз. эквипотенциальными поверхностями (сфера). Связь между напряженностью и потенциалом

где - вектор (производная по направл.), показ. направл. максимал. измен. величины. «-», т.к. напряженность направл. в сторону убывания потенциала.

Для запуска ракет надо в зависимости от цели сообщить им опред. начал. скорости, наз. космическими. Первая космическая скорость – скорость, которую надо сообщ. телу, чтобы оно могло двигаться вокруг земли по круговой орбите, т.е. превратиться в искусств. спутник.

Если r=R_з , то

Вторая космическая скорость – наименьшая скорость, которую нужно сообщит телу, чтобы оно могло преодолеть притяжение Земли и превратиться в спутник Солнца, т.е. его орбита в поле тяготения земли станет параболической. Чтобы тело преодолело земное притяжение и ушло в космич. простр., надо, чтобы его кинетич. энергия = работе, соверш. против сил тяготения.

Третья космическая скорость – скорость, которую необх. сообщить телу на Земле, чтобы оно покинуло пределы солнечной системы, преодолев притяжение Солнца