§8.Максимумы и минимумы функции в точке и на отрезке

Пусть – внутренняя точка . Будем говорить, что в этой точке функция имеет экстремум, если существует окрестность точки такая, что для всех из всей окрестности – максимум, – минимум.

Точками подозрительными на экстремум являются те точки, в которых первая производная равна нулю или не существует.

Если при переходе через точку, подозрительную на экстремум, производная меняет знак, то экстремум будет, причем, если знак меняется с «+» на «–», то максимум, если с «–» на «+», то минимум.

Если непрерывная функция задана на отрезке, то она на нем достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения надо искать среди значений функций в точках, подозрительных на экстремум и концах отрезка.

42. Найти экстремумы функций:

    1. .

, . Других, подозрительных на экстремум, точек нет.			2
		+	0	–

– максимум.

2. .

;

при и при , других точек, подозрительных на экстремум нет.			– 1		1
		–	0	+	0	–

– минимум, – максимум.

3. .

; .			0		2
		–	0	+	0	–
			min		Max

– минимум, – максимум.

4. .

; при .			1
		–	0	+

– минимум.

5. .

; .

.

	+	0	–	0	+
		max		min

– максимум; – минимум.

6. .

. В точке производная не существует.			0
		–		+

– минимум.

43. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на указанных множествах:

    1. на отрезке .

;

если ; .

Наименьшее значение функции равно –13 и достигается оно на концах отрезка, наибольшее значение равно 3 и достигается оно в точке .

2. на отрезке .

;

если .

– наименьшее значение, – наибольшее значение.

44. Найти число, которое, будучи сложно со своим квадратом, дает наименьшую сумму.

Пусть – искомое число, тогда следовательно, нам надо найти наименьшее значение этой функции на . . при , других точек, подозрительных на экстремум нет. , следовательно, – искомое число.

45. В эллипс вписать прямоугольник наибольшей площади.

. Так как четверть площади и вся площадь достигают максимума одновременно, то будем рассматривать только , тогда искомая функция

.

при , не существует при .

.

Наибольшее значение площади прямоугольника .

46. Найти экстремумы функций:

    ;	;	;	;
    .

47. Найти наибольшее и наименьшее значения функций на заданных множествах:

    ;	;
    ;	;
    .

48. Число 24 представьте в виде суммы трех положительных слагаемых так, чтобы одно слагаемое было в три раза больше другого, а произведение трех слагаемых было наибольшим.

49. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак емкостью V. При каком радиусе основания на изготовление бака уйдет наименьшее количество времени?