§9.Выпуклость, вогнутость, точки перегиба

Будем говорить, что кривая выпукла на множестве Е, если касательная к ней в любой точке находится над кривой и вогнутой, если под кривой.

Если на множестве Е, то кривая выпукла, если , то вогнута.

Точки, отделяющие выпуклые части кривой от вогнутых называются точками перегиба.

Если или не существует, и при переходе через нее вторая производная меняет знак, то – точка перегиба.

50. Найти точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости кривых:

    1. .

       . при и .			–1		1
       		+	0	–	0	+
       			т. пер.		т. пер.

    2. .

.

при любых , следовательно, на всей числовой оси кривая вогнута.

3. .

.

при , то есть при .

		0		8
	+	не сущ.	–	0	+
		т. пер.		т. пер.

4. .

при любом , если , следовательно, если , то есть, при .

		–2		2		В точках –2 и +2 перегиба нет, так как в этих точках функция не определена.
	–	не сущ.	+	не сущ.	–

51. Найти точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости кривых:

;	;	;
;	;	;
.

§10.Исследование функций и построение графиков

Схема исследования функций может быть следующей:

1. Найти область определения функции, область непрерывности и точки разрыва. Исследовать функцию на четность, нечетность и периодичность.

2. Найти асимптоты графика функции. Вычислить односторонние пределы в точках разрыва и граничных для ее области определения.

3. Найти промежутки монотонности и точки подозрительные на экстремум.

4. Найти промежутки выпуклости и вогнутости и точки, подозрительные на перегиб.

5. Занести все полученные данные в таблицу и вычислить значения функции в полученных точках. Если возможно, то найти точки пересечения графиков с осями координат.

6. Построить график.

52. Исследовать функции и построить графики:

    1. .

       1. – функция четная, следовательно, все дальнейшие исследования будем проводить только для , зная, что график четной функции симметричен относительно оси ординат.

       2. – горизонтальных асимптот нет;

– наклонных асимптот нет.

3. ;

при , при , при , .

;

при , при , при .

	0
	0	–		–	0	+
		–	0	+		+
	1
			т. пер.		min

2. .

   1. ; – функция ни четная, ни нечетная.

   2. : – точки разрыва второго рода; – вертикальные асимптоты. – наклонных асимптот нет.

– горизонтальная асимптота.

3. : при , при , при .

4. при , то есть , так как для любого , при и .

			0				1
		+		+	0	–		–
		+		–		–	не сущ.	+

3. .

   1. Функция нечетная, следовательно, ее график будет симметричен относительно начала координат, и дальнейшее исследование будем проводить про . В области определения функция непрерывна.

   2. – вертикальная асимптота. Наклонных асимптот быть не может, так как ограничена.

   3. : при .

   4. : при , при .

      	0		1
      		+
      	0	+
      	0

4. .

   1. . Функция четная, следовательно график симметричен относительно оси ординат и дальнейшее исследование будем проводить при . Функция непрерывна на всей числовой оси.

   2. – функция периодическая с периодом .

   3. : при и , то есть при , , при , при .

   4. : при ,

при ,

при .

0

0

+

+

0

–

–

0

+

+

+

0

–

–

0

+

+

0

–

0

перегиб

max

перегиб

max

перегиб

53. Исследуйте функции и постройте их графики:

;	;	;	;
;	;	;	.