Тема 1. Статически неопределимые системы

Стержневой системой называется конструкция, состоящая из жестко связанных каким-либо образом между собой брусьев (стержней).

Стержневая система называется плоской, если оси всех брусьев (стержней) располагаются в одной плоскости. В этой же плоскости действуют и внешние нагрузки, включая реакции опор.

Фермой называется стержневая система, элементы которой в основном работают на растяжение или сжатие. Для ферм характерно шарнирное соединение стержней между собой и приложение нагрузок к узлам (рис. 1.1).

Рамой называется стержневая система, элементы которой главным образом работают на изгиб. Для рамы характерно жесткое соединение стержней между собой и произвольное приложение нагрузки (рис. 1.2).

Кинематической связью называется ограничение перемещения (линейного или углового) какого-либо поперечного сечения бруса (стержня). Связи разделяют на внешние и внутренние. Внешние связи ограничивают перемещения отдельных сечений стержней относительно опорной поверхности. Эти связи создаются различными типами опор. Внутренние связи исключают взаимные перемещения концевых сечений стержней за счет соединения стержней узлами.

Типы опор. Опорные устройства бывают следующими:

- шарнирно-подвижная опора (рис. 1.3,а);

- шарнирно-неподвижная опора (рис. 1.3,б);

-заделка (рис. 1.3,в).

На рис. 1.3 показаны: R –полная реакция шарнирно –подвижной опоры; Y,Z – составляющие силовой реакции в шарнирно –неподви-жной опоре и заделке; М –момент в заделке.

Рис. 1.3

Статически определимая стержневая система

Статически определимой называется геометрически неизменяе-мая стержневая система, в которой реакции всех связей (как внеш-них, так и внутренних) при произвольной статической нагрузке могут быть определены из уравнений равновесия всей системы или отдельных ее частей. Примеры таких систем показаны на рис. 1.4.

Рис. 1.4

Статически неопределимая стержневая система.

Статически неопределимой называется стержневая система, в которой реакции связей не могут быть определены только при помощи уравнений равновесия. Примеры таких систем показаны на рис. 1.5.

Рис. 1.5

Степень статической неопределимости системы

Разность между числом неизвестных реакций связей (n) и числом независимых уравнений статики (k), которые могут быть составлены для рассматриваемой системы, называется степенью статической неопределимости (S). Например, для балки, показанной на рис. 1.5,а, получим

S = 4 - 3 = 1,

где n = 4 – число реакций в шарнирных опорах,

k = 3 – количество уравнений равновесия статики.

ЗАДАЧА 1.1. Для рамы с жестко закрепленным одним концом и загруженной, как показано на рис. 1.6,a, построить эпюру изги-бающих моментов и найти угол поворота узла С.

Решение

Опора А рамы является заделкой (защемлением). В ней возникают три реакции – опорный момент, вертикальная и гори-зонтальные реакции. Имеются три уравнения статики, поэтому данная рама статически определимая. В подобных рамах можно не определять значения опорных реакций, если построение эпюры изгибающих моментов вести от свободного конца рамы (т. Е). На рис. 1.6,б показаны места рассечения участков рамы определяемыми поперечными сечениями с координатами z₁, z₂, z₃ и z₄.

Участок ЕD ( 0 ≤ z₁ ≤ l ).

В соответствии с методом сечений отсекаем сечением на рассто-янии z₁ от свободного конца рамы (т. Е) часть рамы, которую показываем отдельно (рис. 1.6,в). В сделанном поперечном сечении могут действовать внутренние силовые факторы: N_z -нормальная сила; Q_у –поперечная сила; М_х –изгибающий момент.

Рис. 1.6

По условию задачи требуется определить только М_Х. Его значения найдем из условия равновесия отсеченной части , где к – центр тяжести текущего поперечного сечения стержня рамы:

Определяем значения М_Х в крайних поперечных сечениях (точках) участка:

т. Е z₁ = 0, M_X = 0;

т. D z₁ = l, M_X = ql².

Участок CD ( 0 ≤ z₂ ≤ l ).

Отсеченная часть рамы показана на рис. 1.6.г. Из соображений упрощения рисунков здесь и далее при показе отсеченных частей рамы будем опускать изображения в текущем поперечном сечении N_Z, Q_Y и M_X. Также для упрощения расчетов будем переносить на-грузки, приложенные на ранее рассмотренном участке (участке ED), в начало следующего участка рамы (узел D). Так, распределенную нагрузку интенсивностью 2q приводим к узлу D в виде сосредоточенной силы 2ql (рис. 1.6.д) и пары ql². Вертикальную силу ql, приложенную в крайнем сечении Е переносим вдоль линии действия (по вертикали) к узлу D.

Рассматривая отсеченную часть, изображенную на рис. 1.6,д, мо-жем записать:

M_x = ql² + ql·z_2.

Значения М_Х в крайних поперечных сечениях (точках) участка DC:

т. D z₂ = 0, M_X = ql²; т. С z₂ = l, M_x = 2ql².

Переносим силы, действующие на участок ED, в точку D. В сечении D участка CD будут действовать, взамен распределенной нагрузки 2ql, момент ql² и сила 2ql, а также сила ql, перенесенная из точки Е.

Участок ВС ( 0 ≤ z₃ ≤ l ):

Отсеченная часть рамы дана на рис. 1.6,е, а ее эквивалентный вид с приведенными нагрузками в начальном сечении С показан на рис. 1.6,ж. Выражение для изгибающего момента в текущем поперечном сечении с координатой z₃ имеет вид:

Значения М_Х в крайних сечениях участка:

т. C z₃ = 0; M_X = 0; т. В z₃ = l; M_X = 2ql²

Участок ВА ( 0 ≤ z₄ ≤ l ):

Поступая аналогичным образом, как и для вышерассмотренных трех участков, изобразим отсеченную часть участка с эквивалентными нагрузками в начальном сечении В (рис. 1.6,з) и запишем выражение для изгибающего момента в текущем сечении с координатой z₄.

M_X = 2ql² +2ql·z₄ - 2ql·z₄;

Значения М_Х в крайних сечениях участка:

т. B z₄ = 0; M_X = 2ql²;

т. А z₄ = l; M_X = 2ql².

По результатам вычислений строим эпюру изгибающих моментов (рис. 1.7,а). За нулевые линии принимаются продольные оси стержней, а значения ординат М_Х откладываем на сжатых волокнах стержней без указания знака.

Для проверки построенной эпюры вырезаем узлы D и С рамы (рис. 1.7,б, в). В поперечных сечениях стержней, соединяемых в узлы, показываем действующие изгибающие моменты, значения которых снимаем с эпюры М_Х (см. рис. 1.7,а) Кроме того в узле С следует изобразить внешний момент 2ql². Далее составляем уравнения равновесия узлов:

=ql² – ql² = 0; = 2ql² – 2ql² = 0.

Равенство сумм моментов нулям показывает, что узлы находятся в равновесии.

Рис. 1.7

По формуле Мора с использованием правила Верещагина вычислим угол поворота угла С.

Снимаем с рамы все нагрузки и в точке С прикладываем момент (рис. 1.7,г). Строим от него эпюру (Эп. ). Перемножаем эпюры М_Х и . Участков перемножения два: АВ и ВС.

Показываем центры тяжести простейших площадей и эпюры М_Х на участках АВ и ВС перемножения эпюр, а на эпюре соответствующие моменты и .

Угол поворота узла С равен:

=

= .

Знак плюс в ответе означает, что узел С поворачивается в на-правлении момента = 1, т.е. против часовой стрелки.

ЗАДАЧА 1.2. Для показанной на рис. 1.8 рамы построить эпюры изгибающих моментов М_Х и поперечных сил Q_Y, а также найти угол поворота поперечного сечения А, связанного с шарнирно- неподвижной опорой.

Рис. 1.8

Решение

Обозначим границы участков нагружения рамы буквами C, D, E и покажем реакции X_A, Y_A, Y_B, возникающие в опорах А и В соответственно (рис. 1.9,а).

Значения опорных реакций найдем из уравнений равновесия рамы в целом в системе координат хоу (см. рис. 1.9,а):

; - Х_A + F = 0 ; => Х_A = F;

А = 0; -F·2l + Y_B·l + F·l = 0; => Y_B = F;

В = 0; -Y_A·l - F·2l + F·l = 0; = > Y_A = - F.

Рис. 1.9

Проверка вертикальных реакций:

∑пр.у = Y_A + Y_B = - F + F = 0.

Знак минус в значении реакции Y_A означает, что она действует в противоположном направлении к принятому ранее.

Определяем выражения для изгибающих моментов М_Х и поперечных сил Q_Y на участках (стержнях) рамы.

Участок ЕС (рис. 1.9,г, 0 ≤ Z₁ ≤ l ):

Участок АС (рис. 1.9,д, 0 ≤ z₂ ≤ l ):

Участок BD (рис. 1.9,е, 0 ≤ z₃ ≤ l ):

M_X = F·l;

Q_Y = 0.

Участок CD (рис. 1.9, ж, 0 ≤ z₄ ≤ l ):

Переносим момент М = Fl и силу Y_B, приложенные в сечении В ранее рассмотренного участка ВD, в начальное сечение участка CD – сечение (узел) D.

По результатам вычислений строим эпюры изгибающих моментов М_Х и поперечных сил Q_Y (рис. 1.10,а, б).

Эпюры строим на нулевых линиях, за которые принимаем оси стержней рамы. Значения эпюры Q_Y откладываем с любой стороны от нулевых линий с указанием знаков (см. рис. 1.10,б), а значение эпюры М_Х со стороны сжатых волокон без указания знаков (см. рис. 1.10,а).

Рис. 1.10

Находим угол поворота сечения А методом Мора. Снимаем все нагрузки, действующие на раму. Прикладываем в т. А момент =1. Находим реакции опор и строим эпюру (рис. 1.10,в).

А = 0; ·l – 1 = 0; => .

B = 0; ·l – 1 = 0; => .

Угол поворота поперечного сечения А:

= =

= .

Сечение А поворачивается в направлении действия момента =1, т.е. по часовой стрелке.

ЗАДАЧА 1.3. Для показанной на рис. 1.11,а рамы, загружен-ной силой F и моментом М= Fl, определить горизонтальное пере-мещение f_гор узла С.

Рис. 1.11

Показываем реакции в опорах (рис. 1.11,б). В опоре В действует одна вертикальная реакция Y_B, а на опоре А -вертикальная Y_A и горизонтальная Х_А реакции. Таким образом, в опорах рамы возникают три реакции, для определения которых имеются три уравнения статики. Поэтому рама статически определима.

Определяем реакции опор в системе координат хоу (см. рис. 1.11,б):.

х = 0; - Х_A + F = 0; => Х_A = F;

A = 0; - F·2l + Y_B·l + Fl = 0; => Y_B = F;

B = 0; Fl + Y_A·l - X_A·2l = 0; => Y_A = F.

Проверка реакций ∑пр. у = 0; Y_A – Y_B = 0; 0 = 0.

Разбиваем раму на участки нагружения – стержни AD, CD и СВ. Используя метод сечений, составим выражения для М_Х, начиная со стержня АD.

Участок АD (рис. 1.11,в, 0 ≤ Z₁ ≤ l ).

F

Участок ВС ( рис. 1.11,г 0 ≤ Z₂ ≤ l):

Участок CD (рис. 1.11,д 0 ≤ Z₃ ≤ l ):

По полученным выражениям и значениям М_Х строим эпюру (рис. 1.12,а). Вычисляем перемещение f_гор узла С методом Мора.

Рис. 1.12

Прикладываем в точке С силу =1 в направлении искомого перемещения (рис. 1.12, б).

Находим реакции опор от этой силы.

х = 0; - 1 = 0; => ;

A = 0; - ·l + 1·l = 0; => = 1;

B = 0; - ·l + ·2l - ·l = 0; => = 1.

Проверка реакций: ∑пр. у= 0; 0.

Аналогично изложенному выше строим эпюру изгибающих моментов (см. рис. 1.12,б).

Из вида эпюр следует, что надо их перемножать на двух участках CD и DA. Искомое перемещение равно:

=

= .

Перемещение получилось со знаком «плюс», следовательно, узел С переместился в направлении единичной силы = 1, т.е. влево.