Тема 2. Анализ напряженного состояния в точке. Напряженное состояние в точке

Напряжение связано с точкой тела и ориентацией площадки, проходящей через точку.

Совокупность напряжений во всех площадках, проходящих через заданную точку, называется напряженным состоянием в точке. Если в окрестности точки вырезать из тела элементарный куб, то по его граням будут действовать нормальные и касательные напряжения. .

Рис. 2.1

На рис. 2.1 показаны напряжения на видимых гранях куба. Напряжения на гранях куба называют компонентами напряжений.

Напряженное состояние в точке задается тензором напряжений :

Тензор напряжений представляет собой матрицу, в которой записаны в определенном порядке компоненты напряжений на трех взаимно перпендикулярных площадках.

Тензор определяет напряженное состояние в точке, т.е. через напряжения на гранях куба можно определить напряжения на произвольной площадке, походящей через данную точку.

Главные напряжения и главные площадки

Если площадки, принятые за исходные для записи тензора Можно показать, что в любой точке напряженного тела всегда существуют три взаимно перпендикулярные площадки, в которых напряжений вращать, то компоненты будут изменяться. отсутствуют касательные напряжения. Такие площадки называются главными, а напряжения на них – главными напряжениями.

Главные напряжения обладают свойством экстремальности (по сравнению с нормальными напряжениями при других положениях площадок). Главные напряжения обозначают , , и нумеруют согласно неравенству (в алгебраическом смысле):

≥ ≥ . (2.1)

Классификация напряженных состояний

По значениям главных напряжений напряженные состояния разделяют:

1) объемное (трехосное) – отличны от нуля все три главных напряжения;

2) плоское (двухосное) – одно из главных напряжений равно нулю;

3) одноосное – два главных напряжения равны нулю.

Наиболее часто реализуются два последних типа напряженных состояний. Плоское имеет место в оболочечных конструкциях и брусе при сложном нагружении, одноосное – в брусе при растяжении (сжатии) или чистом изгибе.

Определение главных напряжений при плоском напряжен-ном состоянии

В случае плоского напряженного состояния одна из главных площадок с нулевым главным напряжением известна (рис. 2.2). Напряжения и , действующие по двум другим главным площадкам, находятся из формулы: