2.6. Производная сложной функции.

Таблица производных

Пусть где , тогда называется сложной функцией от переменной x. Рассмотрим примеры сложных функций.

Пример 2.5

, , тогда – сложная функция переменной x.

Пример 2.6

, , тогда – сложная функция переменной x.

Пример 2.7

, , тогда – сложная функция переменной x.

Пример 2.8

, , , тогда – сложная функция переменной t.

Пусть имеет производную по переменной , а – по переменной . Рассмотрим вопрос о нахождении производной сложной функции y(u(x)) по x. Используя определение производной, последовательно получаем

  .

Таким образом, если сложную функцию записать в виде цепочки , , то производная от y по x вычисляется по формуле

или

(2.1)

Пример 2.9

Найти производную функции . Положим , тогда и по формуле (2.1) получаем

.

Пример 2.10

Найти производную функции .

Решение

.

В таблице производных 2.1 все формулы приведены при условии, что , (в формуле 14 табл. 2.1).

Таблица 2.1

1		8
2		9
3		10
4		11
5		12
6		13
7		14

2.7. Производные высших порядков

Пусть функция задана на промежутке Х и имеет на нем производную . Производная от производной, если она существует, называется производной второго порядка (второй производной) функции и обозначается , или , , .

Итак, по определению .

Аналогично определяется производная 3-го порядка: Производная от производной (n–1)-го порядка называется про­изводной п-го порядка или п-й производной и обозначается , или .

Таким образом, по определению

или .

Задание 2.1

Найдите производные следующих функций

1)		8)
2)	(4x+1)2	9)
3)		10)
4)		11)
5)		12)	(x2–4x+8)ex/2

6)	1–2x3	13)	(x–1)
7)		14)	x2(2x–1)

Ответы к заданию 2.1

1)		8)
2)	8(4x+1)	9)
3)		10)
4)		11)
5)		12)
6)	–6x2	13)
7)		14)	6x2–2x