2.11. Асимптоты графика функции

Прямая линия т называется асимптотой графика функции у = f(x) , если расстояние d от точки М, лежащей на этом графике, до прямой т стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по графику от начала координат в беско­нечность (рис. 2.3 а, б, в).

Рис. 2.3

Асимптоты бывают двух видов: вертикальные и наклонные.

Если хотя бы один из односторонних пределов f(x) или f(x) равен бесконечности, то прямая x = x₀ является вертикальной асимптотой графи­ка функции f(x) (рис. 2.3 а).

Если существуют конечные пределы

,

то прямая является наклонной асимптотой графика функции f(x) (рис. 2.3 б).

Если хотя бы один из указанных пределов не существует или равен бесконечности, то график y = f(x) наклонных асимптот не имеет.

Если k = 0, то асимптота y = b параллельна оси Ox (рис. 2.3 в). Такую асимптоту называют горизонтальной.

2.12. Построение графиков функций

При построении графика данной функции целесообразно пользовать­ся следующей схемой:

1) найти область определения функции;

2) исследовать функцию на четность, нечетность и периодичность;

3) найти точки пересечения графика с осями координат;

4) найти интервалы знакопостоянства функции;

5) найти асимптоты;

6) найти интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции;

7) найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

Глава 3

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

3.1. Понятие дифференциала функции

Пусть задана на промежутке X. Производная в точке равна . При этом , при ; тогда приращение функции можно выразить так:

(2.1)

Определение. Дифференциалом функции (обозначается ) называется произведение производной функции на приращение аргумента

.

(2.2)

Если независимую переменную отождествить с функцией , тогда последовательно получаем: . Таким образом, дифференциал независимой переменной равен ее приращению:

.

(2.3)

Поскольку , выражение для дифференциала можно записать так: . Отсюда следует, что производную у'_x можно рас­сматривать как отношение диф­ференциала функции к диф­ференциалу аргумента :

.

(2.4)

Геометрический смысл дифференциала

Рассмотрим гра­фик функции (рис. 2.4): АС = dy = ; ВС = у. Дифференциал функции в точке равен прира­щению ординаты касательной к графику функции .

Рис. 2.4

Формулы для вычисления дифференциалов

Используя правила дифференцирования, получим формулы для нахождения дифференциалов:

1) ;

2) d (и + ) = d и + d ;

3) d (и ) = и d + dи, в частности, d(Си) = С dи;

4) .

Таблица 2.2

1		8
2		9
3		10
4		11
5		12
6		13
7		14

Рассмотрим теперь сложную функцию у =f(и), где . Будем предполагать, что функция g(x) дифференцируема в точке , а функция f(u) – в соответствующей точке и. Найдем дифференци­ал сложной функции у.

По определению дифференциала функции имеем , но, как известно, , этому = = .

Таким образом, . Отсюда следует, что дифференциал сложной функции у(u(x)) выражается через промежуточную перемен­ную и точно так же, как если бы промежуточная переменная была независимой. Это свойство называют свойством инвариант­ности формы дифференциала.

29