2.8. Правило Лопиталя

Теорема 2.1. (Теорема Лопиталя). Пусть функции и дифферен­цируемы в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой этой точки, и g'(x) 0 для всех хU(х₀), . Тогда если f(x) = g(x) = 0 (или f(x) = g(x) = ) и существует , то существует и , причем = .

Если отношение в свою очередь представляет собой неопределенность вида или , то правило Лопиталя можно приме­нять второй раз и т. д.

Пример 2.10

=

= .

Пример 2.11

.

Пример 2.12

Найти xlnx.

Решение

2.9. Монотонность и экстремумы функции

Если функция f(x) дифференцируема на интервале и , то возрастает (соответ­ственно убывает) на этом интервале.

Точка x₀ называется точкой локального максимума (локально­го минимума), если существует такая окрестность U(х₀) этой точки, что f(x)< f(х₀)  x  U(х₀) , xx₀ (соответственно, f(x) > f(х₀) / x 

U(х₀) , xx₀ ).

Точки локального максимума и минимума называются точка­ми локального экстремума, а значения функции в этих точ­ках — экстремумами функции.

Если — точка локального экстремума для функции , то в этой точке производная функции либо равна нулю ( (x₀) = 0), либо не существу­ет.

Точки области определения функции , в которых ее про­изводная не существует или равна нулю, называются крити­ческими точками функции. В силу сформулированной теоремы, экстремумы функции находятся среди ее кри­тических точек.

Пусть функция f(x) не­прерывна в точке и дифференцируема в некоторой ее окрестности (кроме, быть может, самой точки ). Тогда, если ( меняет знак при переходе через точку х₀, то х₀ — точка локального экстремума (если с «+» на «–» — локальный максимум, если же с «–» на «+» — локальный минимум).

Если x₁, x₂,..., xп — критические точки непрерывной на отрезке [а;b] функции , то наибольшее и наименьшее значения этой функ­ции есть соответственно наибольшее и наименьшее из чисел , , ,..., , .

2.10. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба

Функция f(x), определенная на интервале , называется выпуклой вверх (выпуклой вниз) на этом интервале, если точ­ки любой дуги графика функции расположены выше (соответ­ственно, ниже) хорды, стягивающей эту дугу.

Иногда выпуклость вверх (соответственно, выпуклость вниз) называют просто выпуклостью (соответственно, вогнутостью).

График выпуклой вверх (выпуклой вниз) на интервале (а; b) функции также называют выпуклым вверх (соответственно, выпуклым вниз).

Можно дать другое, эквивалентное, определение выпуклости вверх (выпуклости вниз): функция f(x) называется выпуклой вверх (выпуклой вниз) на интервале (a; b), если график этой функции при x (а; b) расположен ниже (соответственно, выше) касательной, проведенной в любой его точке (рис. 2.1 а и б).

Рис. 2.1

Достаточное условие выпуклости вверх (вниз). Пусть функция f(x) имеет вторую производную на интервале (a;b). Тогда, если (x ) < 0 (соответственно, (x )>0) на этом интервале, то функция f(x) выпукла вверх (соответственно, выпукла вниз) на нем.

Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестно­сти точки x₀. Тогда если при переходе через точку x₀ функция меняет направление выпуклости, то эта точка называется точ­кой перегиба функции f(x). Точка (x₀, f(x₀)) при этом называ­ется точкой перегиба графика функции f(x) (рис. 2.2 а и б).

Рис. 2.2

Необходимое условие точки перегиба. Если x₀ — точка перегиба функции f(x), то в этой точке вторая производная функция либо равна нулю ( (x₀) = 0), либо не существует.

Точки, в которых вторая производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками 2-го рода.

Точки перегиба следует искать среди критических точек 2-го рода.

Достаточное условие точки перегиба. Пусть функция f(x) имеет первую производную в точке x₀ и вторую производную в некоторой окрестности этой точки (кроме, быть может, самой точки x₀). Тогда если при переходе через точку x₀ вторая производная меняет знак, то x₀ — точка перегиба.