10. Сравнение бесконечно малых функций.

Функция α(x), определенная в .О (x ₀), называется бесконечно малой функцией при x → x₀, если

Свойства бесконечно малых функций

Пусть α(x) и β(x) — бесконечно малые функции при x → x₀,  и f(x) ограничена в некоторой проколотой окрестности точкиx₀. Тогда

1. α(x) + β(x) — бесконечно малая функция при x → x₀;

2. α(x) · f(x) — бесконечно малая функция при x → x₀.

Сравнение бесконечно малых функций

Пусть α(x) и β(x) — бесконечно малые функции при x → x ₀, отличные от нуля в некоторой окрестности точки x₀.

1. Е сли

то α(x) называется бесконечно малой функцией более высокого порядка по сравнению с β(x) и обозначается с помощью символа “o малое”: α = o(β) при x → x₀.

2. Е сли

 где C — любое число, не равное нулю, то α(x) и β(x) называются бесконечно малыми функциями одного порядка: α ~ β при x → x₀.

3. Если

то α(x) и β(x) называются эквивалентными бесконечно малыми функциями: α ~ β при x → x₀.

4. Е сли

не существует, то α(x) и β(x) называются несравнимыми бесконечно малыми функциями.

11. Первый замечательный предел и его следствия

Имеет вид:

Предел отношения синуса к его аргументу равен единице в случае, когда аргумент стремится к нулю.

Следствия из первого замечательного предела

1)   

2)   

3)   

4)   

12.Второй замечательный предел и его следствия

Имеет вид:

 или 

Следствия

1. 

2. 

3. 

4. 

5.  для  , 

6. 

13. Определение и геометрический смысл производной

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Геометрический смысл производной. Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  y=f(x) в этой точке

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x₀ :

14. Правила нахождения производной

Правила нахождения производных

Если нам известна исходная функция, мы можем отыскать по ней ее производную. В алгебре существует достаточно много правил отыскания производных, или дифференцирования.

Если с - постоянное число, и f(x), g(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

Правило константы	y = C     =>    y' = 0 y = (Cf)' = C (f)'
Правило суммы	y = f(x) + g(x)    =>   y' = f '(x) + g'(x)
Правило умножения	у = ( fg )' = f 'g+g'f
Правило деления
Правило сложной функции	если y = f(x), u = g(y), то функция               u= g(f(x)) - сложная функция, или суперпозиция. u'  = g(f(x))' = g'(y)*f '(x)
Обратная функция	если для функции y = f(x) существует обратнаядифференцируемая функции             x = f -1(y), то она тоже имеет производную в соответствующей точке: (f -1(y))у=у0 =

На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список производных основных элементарных функций.

f(x)	f '(x)	f(x)	f '(x)
С	0	sin x	cos x
ха	аха-1	cos x	– sin x
ах	ахlna	tg x
ех	ех	ctg x
log a x		arcsin x
		arccos x
		arctg x
		arcctg x