Примеры решения задач

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию .

Решение.

На первом шаге, в соответствие с достаточным условием экстремума функции двух переменных, найдем точки, удовлетворяющие условию:

Частные производные первого порядка от функции равны:

Приравняем их к нулю и решим систему уравнений:

Выпишем отдельно первое уравнение системы и найдем его корни:

Подставим найденные значения переменной во второе уравнение системы:

и

Таким образом, получили две точки и , в которых будет продолжено исследование функции на экстремум.

На втором шаге найдем все вторые частные производные от функции :

 

 

 

На третьем шаге для каждой из точек и установим наличие экстремума функции (для этого вычислим значения вторых производных и найдем знак дискриминанта в указанных точках).

1) Для точки :

Так как дискриминант больше нуля и , то функция имеет минимум в точке : .

2) Для точки :

Так как дискриминант меньше нуля, то функция не имеет в точке ни минимума, ни максимума.

Ответ: в точке функция имеет минимум .

21)вторая производная. Если производная  f ' ( x ) функции  f ( x ) дифференцируема в точке ( x₀ ), то её производная называется второй производной функции  f ( x )  в точке ( x₀ ), и обозначается  f '' ( x₀ ).  

 

Функция  f ( x ) называется  выпуклой  на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит  ниже  касательной, проведенной к кривой  y = f ( x ) в любой точке ( x₀ ,  f ( x₀ ) ),  x₀ ( a, b ).

Функция  f ( x ) называется  вогнутой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит  выше  касательной, проведенной к кривой  y = f ( x ) в любой точке ( x₀ ,  f ( x₀ ) ),  x₀ ( a, b ).

 

Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции.

Пусть функция f ( x ) дважды дифференцируема ( имеет вторую производную ) на интервале ( a, b ), тогда:

если  f '' ( x ) > 0 для любого x ( a, b ), то функция  f ( x ) является вогнутой на интервале ( a, b );

если  f '' ( x ) < 0 для любого x ( a, b ), то функция  f ( x ) является выпуклой на интервале ( a, b ) .

 

Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба  x₀  существует вторая производная  f '' ( x₀ ), то  f '' ( x₀ ) = 0.

П р и м е р .

Рассмотрим график функции  y = x3 : Эта функция является вогнутой при  x > 0  и выпуклой при  x < 0. В самом деле,  y'' = 6x, но 6x > 0 при  x > 0  и  6x < 0  при  x < 0, следовательно,  y'' > 0 при x > 0 и  y'' < 0 при x < 0, откуда следует, что функция  y = x3 является вогнутой при  x > 0 и выпуклой при x < 0. Тогда  x = 0 является точкой перегиба функции  y = x3.

22)Аси́мпто́та[1] (от греч. ασϋμπτωτος — несовпадающий, не касающийся) кривой с бесконечной ветвью — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность[2]. Термин впервые появился у Аполлония Пергского, хотя асимптоты гиперболы исследовал ещё Архимед[3].

Для гиперболы асимптотами являются оси абсцисс и ординат. Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от нее

Затухающие колебания. . Кривая может бесконечное множество раз пересекать асимптоту

Пример асимптоты для кривой в пространстве. Спираль бесконечно приближается к прямой

Виды асимптот графиков:

Вертикальная:

Вертикальная асимптота — прямая вида при условии существования предела .

Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:

1. 

2. 

Замечание: обратите внимание на знаки бесконечностей в этих равенствах.

Горизонтальная:

Горизонтальная асимптота — прямая вида при условии существования предела

.

Наклонная:

Наклонная асимптота — прямая вида при условии существования пределов

Пример наклонной асимптоты

1. 

2. 

Замечание: функция может иметь не более двух наклонных (горизонтальных) асимптот.

Замечание: если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен ), то наклонной асимптоты при (или ) не существует.

Связь между наклонной и горизонтальной асимптотами

Если при вычислении предела , то очевидно, что наклонная асимптота совпадает с горизонтальной. Какова же связь между этими двумя видами асимптот?

Дело в том, что горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при , и из выше указанных замечаний следует, что

1. Функция имеет или только одну наклонную асимптоту, или одну горизонтальную асимптоту, или одну наклонную и одну горизонтальную, или две наклонных, или две горизонтальных, либо же вовсе не имеет асимптот.

2. Существование указанных в п. 1.) асимптот напрямую связано с существованием соответствующих пределов.

Нахождение асимптот:

-Порядок нахождения асимптот

Нахождение вертикальных асимптот.

1. Нахождение двух пределов

2. Нахождение двух пределов :

если в п. 2.), то , и предел ищется по формуле горизонтальной асимптоты, .

Наклонная асимптота — выделение целой части:

Также наклонную асимптоту можно найти, выделив целую часть. Например:

Дана функция .

Разделив нацело числитель на знаменатель, получим:

.

При    ,    ,   то есть:

,

и является искомым уравнением асимптоты.

Свойства:

Среди конических сечений асимптоты имеют только гиперболы. Асимптоты гиперболы как конического сечения параллельны образующим конуса, лежащим в плоскости, проходящей через вершину конуса параллельно секущей плоскости[4]. Максимальный угол между асимптотами гиперболы для данного конуса равен углу раствора конуса и достигается при секущей плоскости, параллельной оси конуса.

23)1.Основные понятия.

Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D.

Обычно функция нескольких переменных задается явным аналитическим способом. Например: z=3x+5y²,u=xy+z² и т.д.

Встречается также и неявное задание таких функций, например: z-2x-sinxy=0.

 Упорядоченная пара чисел (x,y) может рассматриваться как точка на плоскости, т.е. Z есть функция точки (x,y).

Чтобы задать функцию z=f(x,y), надо не только указать правило нахождения z по заданным x и y, но и то множество (называемое областью задания функции) пар значений, которые могут принимать аргументы x и y.

Например, функция z= задана только при 1-y >0, т.е. внутри эллипса y²+4x²<1 с полуосями, а=0,5 и в=1 не включая точки, лежащие на эллипсе.

 

Определение. Если каждой совокупности значений переменных x,y,z…t соответствует определенное значение переменной w, то w называется функцией независимых переменных x,y,z…t и записывается w=f(x,y,z…t).

Для функции трех переменных областью определения является упорядоченная тройка чисел (x,y,z), т.е. некоторая совокупность точек пространства. Область определения функции четырех и большего числа переменных не допускает простого геометрического истолкования.

Функции двух переменных допускают графическую иллюстрацию. Графиком функции z=f(x,y), заданной на некотором множестве D точек плоскости ХОУ, называется множество точек (x,y,z) пространства, у которых (x,y) принадлежит D, а z=f(x,y). В наиболее простых случаях такой график представляет собой некоторую поверхность.

Например, графиком функции z=4-x²-y² является параболоид.

 

Функции трех и большего числа переменных не имеют геометрического представления.

            2.Непрерывность функции нескольких переменных.

Определение. Число А называется пределом функции f(M), где М(x₁,x₂,…x_n) – точка n-мерного пространства, при стремлении точки М к точке М₀(x₁⁰,x₂⁰,…x_n⁰) любым образом, если для всякого сколь угодно малого >0 существует такое число >0, что из условия < , где - расстояние между точками М и М₀, следует < .

Обозначается:

А .

Пусть z=f(x,y). Придадим x и y приращения и . Получим приращение  функции z=f(x,y). Если

                        ,                                                                                   (1)

 т.е. бесконечно малым аргументам соответствует бесконечно малое приращение функции, то говорят, что функция непрерывна.

Распишем x₀+ y+ -f(x₀,y₀) и положим x₀₊ x=x,y₀+ ,то выражение(1) можно записать в виде

                        f(x,y)=f(x ₀,y₀),                                                                      (2)

т.е. непрерывность функции означает, что ее предел равен ее значению от пределов аргументов.

 Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в области. Если в некоторой точке не выполняется условие (2), то эта точка называется точкой разрыва.