3. Частные производные.

Пусть z=f(x,y). Зафиксируем какую-либо точку (x,y), а затем, не меняя закрепленного значения аргумента y, придадим аргументу x приращение . Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по x и обозначается  и определяется формулой .

Аналогично, если x сохраняет постоянное значение, а y получает приращение , то z получает частное приращение z по y, .

Определение. Частной производной по x от функции z=f(x,y) называется предел отношения частного приращения по x к приращению при стремлении  к нулю, т.е.

Частная производная обозначается одним из символов .

Аналогично определяется частная производная по y:

                                 .

Таким образом, частные производные функции двух переменных вычисляются по тем же правилам, что и производные функции одного переменного.

Пример. Найти частные производные функции z=x²e ^x-2y.

Решение.

Частные производные функции любого числа переменных определяются аналогично.

4. Геометрическая интерпретация частных

               производных функции двух переменных

 

Пусть уравнение z=f(x,y) –это уравнение поверхности. Проведем плоскость x=const.  L- линия пересечения поверхности с плоскостью x=const. При данном x на плоскости ХОУ возьмем точку М. На поверхности z=f(x,y) ей соответствует точка Р(x,y,z). Дадим переменному y приращение Тогда функция z получит приращение  Отношение  равно тангенсу угла, образованного секущей RР с положительным направлением оси ОУ,

Итак, частная производная  численно равна тангенсу угла

наклона касательной к кривой, получающейся в сечении поверхности z=f(x,y) плоскостью x=const.

 Аналогично, частная производная  численно равна тангенсу угла наклона касательной к кривой, получающейся в сечении поверхности z=f(x,y) плоскостью x=const.

24)Частные производные

Пусть     определена на области  D. Будем считать аргумент  y  постоянным и рассмотрим получающуюся при этом функцию одной переменной  x. Придадим переменной  x  приращение  Δx. Приращение  Δx  вызовет приращение функции   . Конечный предел отношения приращения функции  Δz_x  к приращению аргумента  Δx  при     называется частной производной первого порядка по  x  и обозначается   , т.е.   .

Если считать аргумент  x  постоянным и рассматривать функцию     как функцию одной переменной  y, то приращение  Δy  вызовет приращение функции   . Конечный предел отношения приращения функции  Δz_y  к приращению аргумента  Δy  при     называется частной производной первого порядка по  y  и обозначается   , т.е.   .

Для обозначения частных производных также используют символы:   .

Частными производными второго порядка от функции     называются частные производные от ее частных производных первого порядка:   . 

Причем   , если производные непрерывны.

Аналогично вычисляются производные более высоких порядков.

Производная сложной функции

Пусть задана сложная функция   ,   ,   , тогда частные производные     можно найти по следующим формулам:

  .

Производная неявной функции

Неявной функцией  y  аргумента  x  называется функция, значения которой находятся из уравнения, связывающего  x, y  и не разрешенного относительно  y, т.е.   .

Производная неявной функции находится по следующей формуле:   .

Неявной функцией  z  аргументов  x  и  y  называется функция, значения которой находятся из уравнения, связывающего  z, x, y  и не разрешенного относительно  z, т.е.   .

Производные неявной функции находятся по следующим формулам:

   

25)Полный дифференциал

Полным приращением функции     в точке  M(x,y)  называется величина   .

Полным дифференциалом функции     называется величина, вычисляемая по формуле   .

Формула приближенных вычислений:   .

26)Пусть задана функция f(x, y). Тогда каждая из ее частных производных(если они, конечно, существуют) и , которые называются также частными производными первого порядка, снова являются функцией независимых переменных x, y и может, следовательно также иметь частные производные. Частная производная обозначается через или , а через или . Таким образом,

,

и, аналогично,

, .

Производные и называются частными производными второго порядка. Определение:Частной производной второго порядка от функции z=f(x;y) дифференцируемой в области D,называется первая производная от соответствующей частной производной. Рассматривая частные производные от них, получим всевозможные частные производные 3 порядка: , , и т. д.

27)

Исследование функций многих переменных на экстремум – процедура гораздо более сложная, чем аналогичная процедура для функций одной переменной. Поэтому ограничимся рассмотрением этого вопроса на наиболее простом и наглядном примере функции двух переменных (рис. 8.4). Здесь M1(X1; Y1), M2(X2; Y2), M3(X3; Y3) – точки экстремума этой функции. А именно, точки М1 и М3 – Точки минимума функции, а точка М2 – точка ее максимума. На рис. 8.4 представлена функция с тремя точками экстремума, но этих точек, естественно, может быть и больше, и меньше.

Пусть M0(X0; Y0) – точка какого-либо экстремума (точка максимума или точка минимума) функции . Тогда справедлива

Теорема 1.

Если в точке экстремума M0(X0; Y0) существуют частные производные и , то обе они равны нулю:

(3.1)

Доказательство.

1) Рассмотрим функцию . Так как – экстремальное значение этой функции, то производная этой функции при Х = х0, если она существует, равна нулю:

(3.2)

2) Рассмотрим теперь функцию . Так как – экстремальное значение этой функции, то производная этой функции при Y = Y0, если она существует, равна нулю:

(3.3)

Теорема доказана.

Заметим, что условия (3.1) являются Лишь необходимыми условиями экстремума в точке M0(X0; Y0) дифференцируемой в этой точке функции . То есть эти условия не являются достаточными условиями того, что в точке M0(X0; Y0) функция будет иметь экстремум (максимум или минимум). Иначе говоря, точка M0(X0; Y0), в которой выполняются оба равенства (3.1), является Лишь подозрительной на экстремум точкой для функции . Окончательный вывод о характере такой подозрительной на экстремум точки можно сделать с помощью следующей теоремы (приведем ее без вывода):

Достаточные условия экстремума. Теорема 2.

Пусть M0(X0; Y0) – такая точка из области D Определения функции , что для нее выполняются необходимые условия (3.1) экстремума этой функции. То есть M0(X0; Y0) – подозрительная на экстремум точка. Найдем в этой точке числа

(3.4)

Тогда:

1) Если >0 и >0, то M0(X0; Y0) – точка минимума функции .

2) Если >0 и <0, то M0(X0; Y0) – точка максимума функции .

3) Если <0, то точка M0(X0; Y0) – не точка экстремума функции .

4) Если =0, то вопрос остается открытым – нужно дополнительное исследование.

Пример 1. Пусть Х и У – количества двух произведенных товаров; P1 = 8 руб. и P2 = 10 руб. – цена единицы каждого из этих товаров соответственно; C = 0,01(X2+ Xy+ Y2) – функция затрат (в рублях) на производство этих товаров. Тогда доход R от продажи товаров составит R = 8X+10Y (руб.), а прибыль П составит (в рублях)

П = R – C = 8X + 10Y – 0,01(X2+Xy+Y2).

Найдем объемы Х и У товаров, при которых прибыль П будет максимальной.

1) Сначала найдем значения (Х;у), подозрительные на экстремум для функции П:

2) Теперь исследуем найденную подозрительную на экстремум для функции П точку М0(200; 400). Для этого найдем в этой точке значения , определяемые выражениями (3.4). Так как

,

И это верно для любых (Х; у), а значит, и в точке М0(200; 400), то

Так как а то точка М0(200; 400) – точка максимума функции П. То есть прибыль П от продаж будет максимальной при Х = 200 (ед) И У = 400 (ед).

Пример 2. Найти точки экстремума и экстремальные значения функции

Решение. Данная функция – функция двух переменных, определенная для любых Х и У, то есть на всей плоскости Хоу, и имеющая в каждой ее точке частные производные первого порядка:

Сначала найдем точки плоскости Хоу, подозрительные на экстремум для данной функции :

Затем, найдя частные производные второго порядка от функции , запишем выражения для :

Вычисляя теперь числовые значения этих величин для каждой из четырех подозрительных на экстремум точек, получим следующие выводы об этих точках:

- точка max.

- точка max.

- не точка экстремума.

- не точка экстремума.

Теперь найдем два экстремальных (максимальных) значения функции , определяющие высоту двух вершин графика этой функции:

28. Первообразная и неопределенный интеграл Определение первообразной.

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство   для любого х из заданного промежутка.

Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство  . Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Определение неопределенного интеграла.

Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается  .

Выражение   называют подынтегральным выражением, а f(x) – подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).

Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.

29.Таблица основных формул интегрирования

30.Основные правила нахождения первообразных

Правило 1

Если F есть первообразная дл некоторой функции f, а G есть первообразная для некоторой функции g, то F + G будет являться первообразной для f + g.

По определению первообразной F’ = f. G’ = g. А так как эти условия выполняются, то по правилу вычисления производной для суммы функций будем иметь: 

(F + G)’ = F’ + G’ = f + g.

Правило 2

Если F есть первообразная для некоторой функции f, а k – некоторая постоянная. Тогда k*F есть первообразная для функции k*f. Это правило следует из правила вычисления производной сложной функции.

Имеем: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

Правило 3

Если F(x) есть некоторая первообразная для функции f(x), а k и b есть некоторые постоянные, причем k не равняется нулю, тогда (1/k)*F*(k*x+b) будет первообразной для функции f(k*x+b).

31.Формула интегрирования по частям

для неопределённого интеграла:

для определённого:

32. Интегрирование методом замены переменной

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл   Сделаем подстановку   где   — функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда   и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

33. Определенный интеграл, определение и геометрический смысл

Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функцияили функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Определение

Пусть   определена на  . Разобьём  на части с несколькими произвольными точками  . Тогда говорят, что произведено разбиение   отрезка   Далее выберем произвольную точку  ,  ,

Определённым интегралом от функции   на отрезке  называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю  , если он существует независимо от разбиения   и выбора точек  , то есть

Если существует указанный предел, то функция   называется интегрируемой на   по Риману.

Геометрический смысл

Определённый интеграл   численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми   и   и графиком функции  .

34. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на[a, b], то

35.Вычисление площадей плоских фигур

Пусть функция f (х)  непрерывна на отрезке [a ; b].  Если при этом f (х) ≥ 0 на [a ; b], то  площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями  ,  выразится с помощью интеграла:     (1) 

Если же f (х) ≤ 0 на [a ; b], то −f (х) ≥ 0 на [a ; b].  Поэтому площадь S соответствующей  криволинейной трапеции находится по формуле    или     (2)  

Наконец, если линия у = f (х) пересекает ось Ох, то отрезок [a ; b] надо разбить на части, в  пределах которых f (х) не меняет знака, и к каждой части применить ту из формул (1) или (2),  которая ей соответствует.  

36. Определенный интеграл с бесконечными пределами

Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом  . Такой интеграл есть некоторая функция от переменного верхнего предела, т.е. = Ф(х), х ≥ а. Определение.   – называется несобственным интегралом от функции f(x) на интервале а;), вводится он как предел функции Ф(t) при t , т.е.  t→∞ . Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, если предел бесконечен или не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся.