3. Элементы математического аппарата цифровой техники.

3.1 Булевы функции, законы, тождества и их применение.

Аргументы могут принимать значения «0», либо «1».

yi = F (x1; x2; ….xi)

Такие функции можно представить комбинационными схемами:

X1 Kc y1

X2 y2

X3 y3

Xi yi

Базисными (основными) логическими функциями являются схемы «И», «ИЛИ», «НЕ» на основе которых может быть построена сложная логическая функция (комбинационная логическая схема) часто используются универсальные логические схемы.

3.2 Законы и тождества Булевой алгебры.

а) закон равнозначности:

x + x = x,

x * x = x,

x*1 = x;

б) закон противоречия:

в) закон двойного отрицания:

г) закон инверсии, правило Де-Моргана:

д) правило склеивания:

е) операция поглощения:

3.3 Построение логических функций и логических схем.

Пусть задана таблица истинности:

Необходимо записать функцию в совершенной дизнъюктивной нормальной форме (СДНФ) и построить по ней логическую схему.

x1	x2	x3
0	0	1
0	1	0
1	0	1
1	1	1

Решение (алгоритм):

1. Выписываем строчки, где y = 1

x1	x2	Y
0	0	1
1	0	1
1	1	1

2. Для каждой из этих строк записываем конъюнкцию аргумента.

Если значение аргумента «0», то записываем аргумент (х) с инверсией:

такие члены называются минтермами;

3. Записываем дизъюнкцию полученных конъюнкций:

y = + + ;

4. Попытаемся упростить (минимизировать) полученную функцию:

(члены минимизированной функции называется импликантами)

5. Проверка:

х1 = 1; х2 = 0; у = 1; у = 1 + 1 * 0 = 1 + 0= 1

6. Построение логической схемы:

Построим на основе основных («и», «или», «не») базисных функций.

x1

x1x2

&

1 + x1x2 = y

x2 _{___}

1

Замечание: обычно требуется построение на универсальных элементах: «ИЛИ-НЕ», «И-НЕ».

Преобразуем полученную функцию:

3.4 Упрощение (минимизация) логических функций с помощью карт Вейча – Карно.

Пример с 3-х аргументной функцией.

x1	x2	x3	y
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	0
1	1	1	1

x1	x2	X3	У
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	1	1
1	0	1	1
1	1	1	1

1.

2.

3. Карта Вейча – Карно

В таблице приведены все возможные минтермы. Выделим «наши» минтермы:

х3

х1 х1х2х3 х2х3 х2х3

х2

х1 х1 х3 х3

х1

4. Отмечаем в таблице клетки, соответствующие минтермам полученной функции.

1-ый контур

1 1

1 1 1

Объединяем смежные клетки в контуре с числом клеток, равных

2ⁿ = 1;2; 4; 8…..

Замечание: карту Карно можно склеить в кольцо.

5. Для каждого контура записываем слагаемые члены, которые повторяются во всем контуре.

I – контур: х3

II – контур:

у = х3 +

Проверка:

х1 = 0; х2 = 1; х3 = 0

_{__ __}

у = 0 + 0 * 1 =0

х1

1 y

& 1

х2

1

х3