8. Позиционные системы счисления. Запись чисел в позиционных системах счисления.

Вся информация, которою обработает компьютер, должна быть представлена двоичным кодом с помощью двух цифр – 0 и 1. С помощью двух цифр 0 и 1 можно закодировать любое сообщение. Это явилось причиной того, что в компьютере обязательно должно быть организованно два важных процесса:

Кодирование – преобразование входной информации в форму, воспринимаемую компьютером, т.е. двоичный код.

Декодирование – преобразование данных из двоичного кода в форму, понятную человеку.

Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа изображается символом или группой символов (словом) некоторого алфавита. Будем называть такие символы цифрами. 

Числа записываются с использование особых знаковых систем, которые называют системами счисления.

Система счисления – совокупность приемов и правил записи чисел с помощью определенного набора символов.

Все системы счисления делятся на две большие группы: ПОЗИЦИОННЫЕ и НЕПОЗИЦИОННЫЕ.

Если величина цифры не зависит от места, занимаемого этой цифрой, то такая система счисления называется непозиционной.

Позиционной называется такая система счисления, в которой величина цифры зависит от позиции (места), занимаемой этой цифрой в записи числа. Примером позиционной системы счисления служит арабская система счисления, которой мы обычно пользуемся.

Десятичная система счисления, привычная нам с детства, не единственная возможная.

В настоящее время наиболее распространены десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Количество различных символов, используемых для изображения числа в позиционных системах счисления, называется основанием системы счисления.

Совокупность символов, с помощью которых записывается любое число в системе счисления, называется алфавитом системы счисления.

В качестве коэффициентов в любой позиционной системе счисления используются натуральные числа, большие или равные нулю, но меньшие основания.

Система счисления	Основание	Алфавит цифр
Десятичная	10	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Двоичная	2	0, 1
Восьмеричная	8	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Шестнадцатеричная	16	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Пусть q - основание системы счисления

n -  число разрядов целой части числа,

a_i - цифра числа,

A_q - само число.

Тогда развернутую форму для числа, представленного в любой системе счисления можно записать в общем виде следующим образом:

      A_q = a_n-1*q^n-1 + a_n-2*q^n-2 +  ... + a₀*q⁰ 

9. Двоичная система счисления. Запись чисел в двоичной системе счисления.

Система счисления – способ наименования и записи числа и соответствующие ему правила действия над числами.

Десятичная система счисления удобна для человека, но с точки зрения технической реализации намного более простым для кодирования информации является использование двоичной системы счисления. Действительно, удобно кодировать информацию в виде последовательность нулей и единиц, если представить эти значения как два возможных устойчивых состояния электронного элемента:

0 – отсутствие электрического сигнала;

1 – наличие электрического сигнала.

Эти состояния легко различать. Недостаток двоичного кодирования – длинные коды. Но в технике легче иметь дело с большим количеством простых элементов, чем с небольшим числом сложных.

Вся информация, которую обрабатывает компьютер, должна быть представлена в виде последовательностей 0 и 1. Каждый из этих символов несет в себе информацию, равную 1 биту.

Бит – наименьшая единица компьютерной информации.

С помощью двух цифр 0 и 1 можно закодировать любое сообщение.

В двоичной системе счисления основание равно 2, а алфавит состоит из двух цифр 0 и 1.

Числа в двоичной системе счисления в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают 0 и 1.

      A_q = a_n-1*2^n-1 + a_n-2*2^n-2 +  ... + a₀*2⁰ 

Например, 110₂=1*2²+1*2¹+0*2⁰⁼6₁₀

Перевод из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму.

1. Последовательно выполняется деление исходного целого числа и получаемых целых частных на 2 до тех пор, пока не получится частное меньше делителя (1 или 0).

2. Записываем остатки в обратной последовательности.