38. Закон распределения вероятностей.

Распределение вероятностей — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия.

Определение 1. 

Пусть задано вероятностное пространство  , и на нём определена случайная величина  . В частности, по определению,   является измеримым отображением измеримого пространства   в измеримое пространство  , где   обозначает борелевскую сигма-алгебру на  . Тогда случайная величина   индуцирует вероятностную меру   на   следующим образом:

Мера   называется распределением случайной величины  . Иными словами,  , таким образом   задаёт вероятность того, что случайная величина   попадает во множество  .

Определение 2.

Функция   называется (кумулятивной) функцией распределения случайной величины  . Из свойств вероятности вытекает

Теорема 1. Функция распределения   любой случайной величины удовлетворяет следующим трем свойствам:

 — функция неубывающая;

;

 непрерывна слева.

Из того факта, что борелевская сигма-алгебра на вещественной прямой порождается семейством интервалов вида  , вытекает

Теорема 2. Любая функция  , удовлетворяющая трём свойствам, перечисленным выше, является функцией распределения для какого-то распределения  .

Для вероятностных распределений, обладающих определенными свойствами, существуют более удобные способы его задания.

Дискретные распределения [править]

Определение 3. Случайная величина называется простой или дискретной, если она принимает не более, чем счётное число значений. То есть  , где   — разбиение  .

Распределение простой случайной величины тогда по определению задаётся:  . Введя обозначение  , можно задать функцию  . Очевидно, что  . Используя счётную аддитивность  , легко показать, что эта функция однозначно определяет распределение  .

Определение 4. Функция  , где   часто называется дискретным распределением.

Пример 1. Пусть функция   задана таким образом, что   и  . Эта функция задаёт распределение случайной величины  , для которой   (распределение Бернулли).

Теорема 3. Дискретное распределение обладает следующими свойствами:

1.  ;

2.  .

Непрерывные распределения [править]

Непрерывное распределение — распределение вероятностей, не имеющее атомов. Любое распределение вероятностей есть дискретное, непрерывное или смесь дискретного и непрерывного. В приложениях нередко не делают разницы между терминаминепрерывное распределение и абсолютно непрерывное распределение (см. далее).

Абсолютно непрерывные распределения [править]

Основная статья: Плотность вероятности

Абсолютно непрерывными называют распределения, имеющие плотность вероятности. Кумулятивная функция таких распределенийабсолютно непрерывна в смысле Лебега.

Определение 5. Распределение случайной величины   называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная функция  , такая что  . Функция   тогда называется плотностью распределения случайной величины  .

Пример 2. Пусть  , когда  , и   — в противном случае. Тогда  , если  .

Очевидно, что для любой плотности распределения   верно равенство  . Верна и обратная

Теорема 4. Если функция   такая, что:

;

,

то существует распределение   такое, что   является его плотностью.

Просто применение формулы Ньютона-Лейбница приводит к простому соотношению между кумулятивной функцией и плотностью абсолютно непрерывного распределения.

Теорема 5. Если   — непрерывная плотность распределения, а   — его кумулятивная функция, то

.