Решение типовых задач.
Задание 5.
Решить квадратное уравнение
.
Решение:
Шаг 1. Определяем вид квадратного уравнения.
Общий вид квадратного
уравнения
,
следовательно
,
и
.
Шаг 2.
По формуле
вычислим дискриминант
.
Шаг 3. Случай
,
значит уравнение имеет два корня.
.
Найдем их по формулам:
и
и
.
Ответ:
,
.
Задание 6.
Решить уравнение
.
Решение:
Шаг 1. Воспользуемся формулами сокращенного умножения
и
.
Получим:
.
Приведем подобные
,
.
Ответ: , .
Задания для самостоятельного решения.
Задание
7. Решите уравнение:
.
Задание
8. Решите уравнение:
.
Задание
9. Решите уравнение:
.
Задание
10. Решить уравнение:
.
Задание 11.
Решите уравнение:
.
Ответы: 7) -3 и 3. 8)
-2 и 2. 9) корней нет. 10) 1 и 5. 11)
,
.
Линейным
неравенством
называется неравенство вида
,
где a
и b
действительные числа.
Пример
1:
- линейное неравенство.
Неравенство вида
,
где a,
b
и c
– действительные числа и
называется квадратным неравенством.
Пример
2:
- квадратное неравенство.
При решении неравенств выполняют равносильные преобразования:
Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком.
Обе части неравенства можно умножать или разделить на одно и то же положительное число, не меняя при этом знака неравенства.
Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак на противоположный.
Решение типовых задач.
Задание
12. Решите неравенство:
.
Решение:
Шаг 1. Переносим все дроби в левую часть неравенства, не забывая при этом изменить знак перед дробью
.
Шаг 2. Приведем дроби к общему знаменателю
.
Шаг 3. Приведем подробные в числителе
.
Шаг 4. Умножим обе части неравенства на 12
Ответ:
Задание
13. Решите неравенство:
.
Решение:
Шаг 1.
Преобразуем неравенство к виду:
.
Шаг 2.
Найдем корни квадратного трехчлена
.
Шаг 3.
Для этого решим квадратное уравнение
.
По теореме Виета
получим корни
и
.
Шаг 4. Строим числовой луч и отмечаем на нем точки, являющиеся корнями нашего уравнения
-6 1
Т.к. неравенство не строгое, то точки заштрихованные.
Точки делят числовой
луч на три промежутка
,
и
.
Шаг 5. Определяем знак неравенства на каждом промежутке. Для этого берем любую точку из промежутка, подставляем её значение вместо х и определяем знак.
-- + --
.
.
.
Шаг 6.
Выбираем те промежутки, где знак
соответствует знаку нашего неравенства
.
Получается
.
Скобки квадратные, т.о. неравенство
нестрогое.
Ответ: .
Задания для самостоятельного решения.
Задание 14. Решите неравенство, найдите наибольшее целое решение:
Задание 15. Решите неравенство, найдите наибольшее целое решение:
Задание 16. Решите неравенство. В ответе укажите наименьшее целое решение
Задание
17. Найдите область определения выражения:
.
Задание
18. Решите неравенство:
.
Ответы:
14) 6; 15) -8; 16) 4; 17)
;
18)
.
Домашнее задание.
Задание
19. Решите уравнение:
Задание
20. Решите уравнение:
.
Задание
21. Решите уравнение:
.
Задание
22. Найдите наибольшее целое решение:
.
Задание
23. Найдите наибольшее целое решение:
.
Задание 24. Решите неравенство. В ответе укажите наименьшее целое решение:
.
Ответы: 19) -32. 20) 1.
21)
и 4. 22) -5. 23) 3. 24) 2.
Преобразование рациональных алгебраических выражений.
Краткие теоретические сведения.
Алгебраическим выражением называется совокупность конечного количества чисел, обозначенных буквами или цифрами, соединенных между собой знаками алгебраических действий и знаками последовательности этих действий (скобками).
Алгебраическое выражение, в котором указаны только действия сложения, вычитания, умножения и возведения в степень с натуральным показателем, называют целым рациональным выражением. Если кроме указанных действий есть ещё действие деление, то выражение называют дробно-рациональным.
Целые рациональные и дробно-рациональные выражения вместе называются рациональными.
Пример
1:
;
;
;
.
Областью допустимых значений (ОДЗ) алгебраического выражения называют множество всех значений переменных, при которых алгебраическое выражение имеет смысл.
Пример
2:
имеет смысл при
,
т.е. при
.
Числовое значение, полученное при подстановке в алгебраическое выражение допустимых значений переменных, называется значением алгебраического выражения.
Пример
3: алгебраическое выражение
при
и
принимает значение
.
Тождественным преобразованием алгебраического выражения называется замена одного алгебраического выражения другим тождественно ему равным, но отличным по форме. Для осуществления тождественных преобразований необходимо пояснить:
Формулы сокращенного умножения
.
Разложение на множители квадратного трехчлена:
,
где
и
-
корни многочлена.
Свойства степеней с целыми показателями:
.