Задания для самостоятельного решения.

Задание 2. Решите уравнение: .

Задание 3. Сумма корней уравнения равна ________.

Задание 4. Найдите среднее арифметическое всех действительных корней уравнения: .

Задание 5. Найдите произведение корней уравнения .

Задание 6. Если , то приводится к виду ________.

Задание 7. Найдите сумму корней или корень (если он единственный) уравнения .

Задание 8. Разложите многочлен на множители:

а) ;

б)

в) .

Задание 9. Решите уравнение: .

Задание 10. Решите уравнение: .

Ответы: 2) и ; 3) 3; 4) -1; 5) -2; 6) ;

7) ; 8) а) , б) , в) ;

9) и 10) .

Домашнее задание.

Задание 11. Решите уравнение: .

Задание 12. Решите уравнение: .

Задание 13. Найдите сумму корней уравнения: .

Задание 14. Произведение корней уравнения равно _____.

Задание 15. Сумма корней уравнения равна ____.

Задание 16. Разложите на множители .

Ответы: 11) , ; 12) и ; 13) 7; 14) 1; 15) 1; 16) .

Рациональные уравнения. Подбор корней. Схема Горнера. Краткие теоретические сведения.

Уравнение , где - натуральное число и , ,…, - произвольные постоянные коэффициенты, называется целым рациональным уравнением -ой степени.

Теорема 1. Если многочлен с целыми коэффициентами имеет рациональный корень , то является делителем свободного члена , а является делителем коэффициента при старшем члене .

Пример 1. Найти целые корни уравнения .

Решение: По теореме 1 находим, что целые решения уравнения надо искать среди чисел , , .

Подставим эти числа в уравнение. Левая часть уравнения обращается в ноль при х равном 1, -2 и 2. Значит уравнение имеет три целых корня: , и .

Ответ: , , .

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена на двучлен равен .

Теорема 3. Если число а является корнем многочлена , где , то этот многочлен можно представить в виде произведения , где - многочлен - ой степени.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение:

Шаг 1. Пусть - несократимая дробь является корнем уравнения, тогда согласно теореме 1 число находится среди делителей свободного члена, т.е. среди чисел , а - среди положительных делителей старшего коэффициента: 1; 2.

Рациональные корни уравнения надо искать среди чисел , .

Шаг 2. Найдем значение уравнения при различных значениях x. При получаем .

Следовательно - не является корнем уравнения.

Аналогично при получаем .

При получаем . Следовательно - корень уравнения.

Шаг 3. По теореме 3 левую часть уравнения можно разложить на множители .

Приравняем второй множитель к нулю и получим квадратное уравнение . Решив это уравнение, получим корни

, .

Ответ: , и .

Решение уравнений высших степеней можно выполнять, используя метод деления многочлена с помощью схемы Горнера:

Если , то

						…
						…

Общая формула

при .

Замечание. Если число - корень уравнения , то .

Пример 3. Решить уравнение .

Решение:

Шаг 1. Найдем делители свободного члена: , , , , , .

Шаг 2. Выпишем все коэффициенты уравнения и свободный член.

Шаг 3. Подсчитаем значение уравнения при этих делителях, используя схему Горнера:

	1	-1	-8	12
1	1	0	-8	4	- не является корнем - не является корнем - корень уравнения
1	1	-2	-6	18
2	1	1	-6	0

Шаг 4. Разложим левую часть уравнения на множители, получим .

Решим квадратное уравнение . Корни и .

Ответ: , .