Задания для самостоятельного решения.
Задание
1. Решите уравнение:
.
Задание
2. Решите уравнение: а)
б)
Задание
3. Решите уравнение:
.
Задание
4. Решите уравнение:
.
Задание
5. Решите уравнение:
.
Задание
6. Решите уравнение:
.
Задание
7. Решите уравнение:
Ответы: 1)
;
2) а)
б)
;
3)
;
4)
;
5)
,
;
6)
;
10)
.
При решении
неравенств, содержащих переменную под
знаком модуля, можно применять все выше
перечисленные методы решения уравнений.
Кроме того, иногда удобно пользоваться
геометрической интерпретацией модуля
действительного числа. Геометрически
означает расстояние от точки
числовой прямой до начала координат, а
означает расстояние между точками
и
.
Пример
4. Решите неравенство:
.
Решение:
можно рассматривать как расстояние
между точками
и 1.
Шаг 1. Отметим на числовом луче точку 1.
Шаг 2. Согласно неравенству расстояние между точками и 1 не должно превышать 2.
Отметим на луче точки, находящиеся на расстоянии два от 1.
Получим точки -1 и 3.
Шаг 3. Искомые точки – это промежуток от -1 до 3.
Ответ:
.
Пример 5. Решить неравенство:
.
Решение:
По определению модуля
Шаг 1. Получаем совокупность двух систем неравенств:
или
Шаг 2. Решаем первую систему неравенств
Шаг 3.
Решим неравенство
первой системы. Найдем корни соответствующего
квадратного уравнения
.
и
.
Строим числовой луч. Отмечаем корни
уравнения. Определяем знак на каждом
из полученных промежутков.
Решением неравенства
является промежуток
.
Шаг 4. Решаем первую систему. Решением системы является пересечение множеств
.
Шаг 5. Решаем вторую систему
Решим неравенство
.
Найдем корни соответствующего квадратного
уравнения
.
и
.
Решением неравенства
является промежуток
.
Шаг 6. Решением второй системы является пересечение множеств
.
Шаг 7. Решением исходного неравенства будет объединение решений первой и второй систем
.
Получаем
.
Ответ:
.
Пример
6. Решите неравенство
.
Решение: Используем метод возведения в квадрат.
Шаг 1. Возведем обе части неравенства в квадрат
.
.
Шаг 2. Перенесем все слагаемые в правую часть неравенства. Получим квадратное неравенство
Шаг 3.
Решаем неравенство
.
Решением будет промежуток
.
Ответ:
.
Пример 7. Решите неравенство:
.
Решение: Решим методом интервалов
Шаг 1. Приравняем выражения, стоящие под знаком модулей, к нулю
и
.
Шаг 2. Отметим полученные точки на числовом луче. Получим три промежутка
,
и
.
Шаг 3. Рассмотрим решение исходного неравенства на первом промежутке. Модули раскрываются так
.
Система примет вид
Решаем второе неравенство
Шаг 4. Решение неравенства на втором промежутке
Система примет вид
Решаем второе неравенство
Шаг 5. Рассмотрим решение на третьем промежутке
Система примет вид
Шаг 6. Решением неравенства будет объединение решений на всех промежутках
.
Ответ: .
Задания для самостоятельного решения.
Задание
1. Решите неравенство
.
Задание
2. Решите неравенство
.
Задание
3. Решите неравенство
.
Задание
4. Решите неравенство
.
Ответы: 1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Домашнее задание.
Задание
5. Решите уравнение:
.
Задание
6. Решите уравнение:
.
Задание
7. Решите уравнение:
Задание
8. Решите неравенство:
.
Задание
9. Решите неравенство:
.
Задание
10. Решите неравенство:
.
Ответы: 5)
и
;
6)
и
;
7) корней нет; 8)
;
9)
;
10)
.
Свойства логарифмов.
Краткие теоретические сведения.
Определение
логарифма
,
где
,
,
.
Основные свойства логарифмов:
1.
,
где
,
,
,
.
2.
.
3.
.
4.
и частности
.
Пример
1. Найдите значение выражения:
.
Решение:
Воспользуемся вторым свойством:
Применим первое
свойство:
.
По определению
логарифма
,
т.к.
,
получаем
.
Пример 2. Найдите значение выражения:
.
Решение:
Преобразуем первое слагаемое. В
знаменателе первой дроби число 1
представим как
и дважды воспользуемся первым свойством:
.
Применим четвертое
свойство
.
Преобразуем второе
слагаемое. Представим 1 как
и дважды воспользуемся первым свойством:
.
Аналогично
преобразуем третье слагаемое
.
Сложим полученные слагаемые и найдем значение выражения
.
Ответ: 1.