Задания для самостоятельного решения.
Задание 3. Вычислить определители следующих матриц:
1)
|
5)
|
2)
|
6)
|
3)
|
7)
|
4)
|
8)
|
Задание 4. Решить систему уравнений по формулам Крамера:
1)
|
4)
|
2)
|
5)
|
3)
|
6)
|
3.1)
19, 3.2) 55, 3.3) 1, 3.4)
,
3.5) -28), 3.6) -136, 3.7) 0, 3.8) 0;
4.1)
,
4.2)
,
4.3)
,
4.4)
,
4.5)
,
4.6)
;
Домашнее задание.
Задание 5. Вычислить определители следующих матриц:
1)
|
3)
|
2)
|
4)
|
Задание 6. Решить системы уравнений по формулам Крамера:
1)
|
2)
|
3)
|
|
Ответы: 5.1)
14, 5.2) -76, 5.3) 59, 5.4) 0; 6.1)
,
6.2)
,
6.3)
.
Обратная матрица.
Краткие теоретические сведения.
Квадратичная
матрица
называется единичной,
если все ее элементы, расположенные
вдоль главной диагонали равны единице,
а остальные элементы равны нулю:
.
Если
квадратные матрицы A
и
одного порядка, то
.
Матрица
называется обратной
по отношению к квадратной матрице A,
если при умножении этой матрицы на
данную как справа, так и слева получается
единичная матрица:
(2)
Матрица
A
называется невырожденной,
если ее определитель отличен от нуля:
.
Теорема. Обратная матрица существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица A невырожденная.
Над строками матрицы можно выполнять строчные элементарные преобразования (аналогично преобразованиям уравнений линейной системы):
1) Перестановка местами двух строк матрицы;
2) Прибавление к любой строке матрицы другой ее строки, умноженное на произвольное число;
3) Удаление нулевой строки матрицы;
4) Умножение всех элементов строки матрицы на число не равное нулю.
Алгоритм нахождения обратной матрицы .
Шаг 1. Используя результат теоремы, установить существует или нет обратная матрица . Если существует, перейти к следующему шагу.
Шаг
2.
Составить прямоугольную матрицу
,
где A
- исходная квадратная матрица,
- единичная матрица размеров как у A.
Шаг
3.
С помощью строчных элементарных
преобразований привести матрицу
к виду
.
Полученная при этом матрица C
является матрицей
.
Шаг 4. Сделать проверку – убедиться, что выполняется равенство (2).
Решение типовых заданий.
Задание 1. Найти матрицу, обратную матрице
.
Решение:
Шаг 1. Вычислим определитель матрицы A:
, следовательно по теореме (3) существует .
Шаг 2. Составим прямоугольную матрицу :
Шаг 3. С помощью строчечных элементарных преобразований приведем матрицу к виду :
.
Шаг 4. Сделаем проверку:
.
Задание 2. Решить матричным способом систему уравнений:
.
Решение:
Шаг
1.
Записать систему уравнений в виде
матричного уравнения
,
где
,
,
.
Шаг 2. Так как
,
то
для того чтобы найти решение системы
уравнений
,
достаточно найти обратную матрицу
.
Используя решение предыдущего задания,
получаем:
.
Т.о.,
Шаг
3.
Сделаем проверку:
.
Равенства верны, следовательно получено верное решение системы уравнений: .
Задания для самостоятельного решения.
Задания 3. Найти матрицу, обратную матрице:
1)
|
4)
|
2)
|
5)
|
3)
|
6)
|
Задание 4. Решить систему уравнений матричным методом:
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
Ответы:
3.1)
,
3.2)
,
3.3)
,
3.4)
,
3.5)
,
3.6)
;
4.1)
,
4.2)
,
4.3)
,
4.4)
.
Домашнее задание.
Задание 5. Найти матрицу, обратную матрице:
1)
; 2)
.
Задание 6. Решить систему уравнений матричным методом:
.
Задание 7. Решить матричное уравнение:
.
Ответы:
5.1)
,
5.2)
;
6)
;
7)
.
Системы линейных уравнений. Метод Гаусса.
Краткие теоретические сведения.
Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными:
(1)
Решение
системы (1) называют совокупность
записанных в определенном порядке чисел
таких, что после замены в системе (1)
неизвестных
соответствующими числам
уравнения системы превращаются в верные
равенства.
Систему (1) называют совместной, если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае называют несовместной.
Матрицу, составленную из коэффициентов системы (1) называют матрицей системы линейных уравнений (1):
(2)
Если к матрице (2) добавить столбец свободных членов системы (1), то получим расширенную матрицу системы (1):
(3)
Алгоритм метода Гаусса решения системы линейных уравнений.
Шаг 1. С помощью строчечных элементарных преобразований привести расширенную матрицу (3) системы линейных уравнений (1) к ступенчатому виду:
Шаг
2.
Если в ступенчатой матрице присутствует
строка вида (0, 0, …, 0| b),
где
,
то системе уравнений (1) не имеет решений.
В противном случае перейти к следующему
шагу.
Шаг 3. Если в ступенчатой матрице присутствуют нулевые строки вида (0, 0, …, 0| 0), то следует их удалить.
Шаг
4.
Если число строк r
в ступенчатой матрице меньше числа
неизвестных
,
то системе (1) имеет бесконечное число
решений, переходим к шагу 5. Если
,
то системе (1) имеет единственное решение,
переходим к шагу 6.
Шаг 5. Составить систему уравнений, соответствующих ступенчатой матрице. Выразить любые r неизвестных системы через остальные неизвестные и свободные члены это общее решение системы (1).
Шаг 6. Составить систему равнений, соответствующих ступенчатой матрице. Последовательно «снизу вверх» выразить неизвестные системы. Т.о. будет получено ее единственное решение.
Шаг 7. Сделать проверку: подставить решение в систему уравнений.