Решение типовых заданий.

Задание 1. Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение:

Шаг 1. Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

Шаг 2. Система (1) совместная, т.к. ступенчатая матрица не имеет строк вида (0, 0, …, 0| b).

Шаг 3. Нулевых строк ступенчатая матрица не содержит.

Шаг 4. Число строк ступенчатой матрицы равно числу неизвестных системы уравнений: . Следовательно система имеет единственное решение.

Шаг 6. Составим систему уравнений, соответствующую ступенчатой матрице и выполним ее решение «снизу вверх»:

.

Шаг 7. Сделаем проверку:

.

Получили верное равенство, следовательно система уравнений решена верно.

Задание 2. Решить систему уравнений методом Гаусса:

.

Решение:

Шаг 1. Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

.

Шаг 2. Т.к. ступенчатая матрица содержит строку (0, 0, 15), система уравнений не имеет решений.

Задание 3. Решить систему уравнений методом Гаусса:

.

Решение:

Шаг 1. Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

.

Шаг 2. Система уравнений совместна, т.к. ступенчатая матрица не содержит строк вида (0, 0, …, 0| b)..

Шаг 3. Удалим нулевую строку

.

Шаг 4. Т.к. число строк в ступенчатой матрице меньше числа неизвестных , то система имеет бесконечное множество решений.

Шаг 5. По полученной матрице составим систему уравнений и выразим первые две переменные через третью переменную:

.

Общее решение системы , где z - любое число. Для получения частного рения положим, например, z=1. Частное решение имеет вид (11, 7, 1).

Задания для самостоятельного решения.

Решить систему уравнений методом Гаусса

4. ,	5.
6.	7.
8.	9.
10.

Ответы: 4) (3; 1); 5) нет решений; 6) ; 7) (2, -1, 1); 8) (1; -2, -3); 9) нет решений; 10) .

Домашнее задание.

11.	12.
13.

Ответы: 11) (1; -2); 12) (1, 2, 3); 13) нет решений.

Линейная зависимость векторов.

Краткие теоретические сведения.

Алгоритмическим n-мерным вектором называют упорядоченную совокупность n чисел:

.

Числа называют компонентами вектора a.

Суммой векторов и называют вектор .

Произведением вектора на число называют вектор .

Нулевым вектором называют вектор 0 = (0, 0, …, 0).

Вектор называют линейной комбинацией векторов , если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные числа:

(1)

Векторы называют линейно зависимыми, если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что

(2)

В противном случае векторы называют линейно независимыми. Для таким векторов равенство (2) справедливо только при .

Теорема. векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из векторов можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов.

Решение типовых заданий.

Задание 1. Найти линейную комбинацию векторов , , .

Решение:

Найдем векторы

,

.

Теперь получаем

Задание 2. Выяснить, являются ли следующие векторы линейно зависимыми или линейно независимыми:

а) ,

б) .

Решение:

а) Шаг 1. составить векторное равенство (2):

или

Шаг 2. составить равносильную систему уравнений:

И решить ее методом Гаусса:

Система уравнений имеет единственное решение .

Шаг 3. Т.к. системе уравнений имеет единственное нулевое решение, то векторы по определению (2) линейно независимы.

б) Шаг 1. составим векторное равенство (2)

или .

Шаг 2. Составим равносильную систему линейных уравнений

и решим ее методом Гаусса:

Т.к. у полученной ступенчатой матрицы число строк меньше числа неизвестных в системе , то система имеет бесконечное множество решений, в т.ч. ненулевых.

Шаг 3. Т.к. векторное уравнение (2) имеет ненулевое решение , то векторы линейно зависимы.

Задания для решения.

Задание 3. Найти линейную комбинацию векторов …

1) ;

2) ;

3) .

Задание 4. Выяснить, являются ли следующие векторы линейно зависимыми:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

Ответы: 3.1) , 3.2) , 3.3) ; 4.1) да, 4.2) нет, 4.3) нет, 4.4) нет, 4.5) нет, 4.6) нет,

Домашнее задание.

Задание 5. Найти линейную комбинацию векторов :

1) ;

2)

Задание 6. Выяснить, являются ли следующие векторы линейно зависимыми:

1)

2)

3)

5.1) (-43; 32), 5.2) (13;7;-29); 6.1) да, 6.2) нет, 6.3) да.

Прямые и плоскости в пространстве.

Краткие теоретические сведении.

Уравнение плоскости , перпендикулярной вектору и проходящей через точку имеет вид:

(1)

Уравнение (1) можно записать в виде

, (2)

(где ), который называют общим уравнением плоскости.

Рассмотрим две плоскости:

,

.

Плоскости Q и P параллельны тогда и только тогда, когда коэффициенты при одноименных переменных пропорциональны:

(3)

Плоскости Q и P перпендикулярны тогда и только тогда, когда выполняется условие:

. (4)

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей:

. (5)

Если прямая в пространстве проходит через т. и т. , то ее уравнение имеет вид:

(6)

Если прямая в пространстве параллельна направляющему вектору и проходит через точку , то

(7)