Решение типовых задач

Пример 1. Решим уравнение

Решение. Нетрудно убедиться, что способ решения возведением в квадрат (второй способ) здесь наиболее целесообразен. Действительно, при решении этим способом мы получим одно уравнение равносильное данному уравнению: откуда

Ответ.

Пример 2. Решим уравнение

Решение. Раскроем сначала, пользуясь определением, т.е. применяя первый способ, «внутренний» модуль. Получим равносильную уравнению совокупность смешанных систем:

или

Решим сначала первую систему совокупности. Раскрывая модуль по определению, получим следующую совокупность смешанных систем, равносильную первой системе совокупности:

Первая из этих систем решений не имеет, а из второй системы находим

Теперь решим вторую систему полученной совокупности. Ясно, что при выражение отрицательно. Это значит, что уравнение этой системы корней не имеет.

Итак, корнем исходного уравнения является

Ответ.

Пример 3. Решим неравенство

Решение. После возведения в квадрат обеих частей неравенства получим: далее Откуда находим

Ответ.

Пример 4. Решим неравенство

Решение. Неравенство равносильно следующей совокупности систем:

решая которую, находим последовательно

откуда ; . Объединяя найденные решения, получим

Ответ.

Пример 5. Решим неравенство

Решение. Отметим на числовой прямой точки, в которых выражения, находящиеся под знаками модулей, обращаются в нуль. это точки и Числовая прямая разбивается этими точками на три промежутка: и Рассматривая заданное неравенство на каждом их этих трех промежутков, получим совокупность трех систем:

Из первой системы находим из второй из третьей Объединяя найденные решения получим:

Ответ.

Пример 6. Решим неравенство

Решение. Так как по определению то заданное уравнение равносильно следующей совокупности систем:

Решив первую систему. Получаем:

Ясно, что так как то т.е. и поэтому система примет вид: откуда

Решив вторую систему. Получаем: или откуда

Объединяя теперь решения первой и второй систем, получим - решение заданного неравенства.

Ответ. .

Задания для решения

Решить уравнения.

3.1. 3.2.

3.3. 3.4.

3.5.

Решить неравенства.

3.6. 3.7.

3.8. 3.9.

3.10. 3.11.

3.12. 3.13.

Домашнее задание

Решить уравнения

3.14. 3.15

3.16. 3.17.

3.18.

Решить неравенства.

3.19. 3.20.

3.21. 3.22.

3.23. 3.24.

Ответы

3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9. 3.10. 3.11. 3.12. 3.13. 3.14. 3.15. 3.16. 3.17. 3.18. 3.19. 3.20. 3.21. 3.22. 3.23. 3.24.

4. Иррациональные уравнения

Краткие теоретические сведения

Иррациональными называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень.

Основными методами решения иррациональных уравнений является следующие:

1) метод возведения обеих частей уравнения в одну и тоже степень;

2) метод введения новых переменных. В некоторых случаях оказывается целесообразным применение различных искусственных приемов. Появление посторонних корней может произойти за счет того, что при возведении обеих частей заданного уравнения в четную степень мы получаем уравнение, являющиеся следствием не только этого уравнения, но и уравнения . Действительно,

Если уравнение имеет корни, то именно они являются посторонними корнями заданного уравнения . Так, если заданным является уравнение то при возведении обеих частей уравнения в квадрат мы получаем уравнение т.е. корнями которого являются и корень заданного уравнения , и значение , являющееся корнем уравнения но не удовлетворяющее заданному уравнению.