Решение типовых задач

Пример 1. Решите уравнение: .

Решение. Воспользуемся свойством логарифма и левую часть приведем к одному основанию

,

полученное уравнение равносильно системе

Ответ.

Пример 2. Какому промежутку принадлежат корни уравнения .

Решение. Приведем к общему знаменателю

Корни уравнения системы х=2 и , но корень не удовлетворяет второму неравенству системы.

Ответ. .

Пример 3. Решить уравнение

Укажем, что x >2 (ОДЗ). Далее, сводим все логарифмы к единому основанию 5:

Ответ подходит под ОДЗ.

Ответ.  .

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Укажем, что x > 0.

Так как  и, используя свойства логарифма, имеем:

Сделаем замену , тогда

Ответ. 

Пример 5. Решить неравенство .

Решение.

Ответ. .

Пример 6. Решить неравенство .

Решение. Введём новую переменную

Решив полученное неравенство методом интервалов, получим

Ответ. .

Пример 7. Решить неравенство

Решение. Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

Вторая система не имеет решения.

Ответ: .

Задания для решения

Решите логарифмические уравнения и неравенства.

9.1. .

9.2. .

9.3.

9.4.

9.5.

9.6.

9.7.

9.8.

9.9.

9.10.

Домашнее задание

9.11. .

9.12. .

9.13. .

9.14. .

9.15.

9.16.

Ответы

9.1. 14. 9.2. 2. 9.3. 1;5. 9.4. . 9.5. . 9.6. -3;1. 9.7. 9.8. 9.9. 9.10. 9.11. -4. 9.12. 2;8. 9.13. . 9.14. -4; -2. 9.15. 9.16.

10. Область определения функции

Краткие теоретические сведения

При нахождении области определения функции удобно использовать теоретический материал таблицы 1.

Таблица 1.

№	Вид функции	Пример функции	Наличие ограничений у данного вида функции
1	, где .		У данной функции нет ограничений, т.е. D(y)=R.
2	, где P(x) и Q(x)- многочлены от х.		Ограничение: Q(x) .
3	, к - четное число, P(x)- многочлен от х.		Ограничение: .
4	, к - нечетное число, P(x)- многочлен от х.		У данной функции нет ограничений, т.е. D(y)=R.
5	, а>0, , P(x)- многочлен от х.		Ограничение: .
6	, а>0, , P(x)- многочлен от х.		У данной функции нет ограничений, т.е. D(y)=R.
7	, , P(x)- многочлен от х.		У данной функции нет ограничений, т.е. D(y)=R.
8	, P(x)- многочлен от х.		Ограничение: Z.
	, P(x)- многочлен от х.		Ограничение: Z.
9	, , P(x)- многочлен от х.		Ограничение: .
10	, , P(x)- многочлен от х.		У данной функции нет ограничений, т.е. D(y)=R.