Решение типовых задач

Пример 1. Решим уравнение

Решение. Приведем все степени к одинаковому основанию 5:

Далее получаем уравнение , которое равносильно уравнению Корнем этого уравнения, а, значит, и корнем заданного уравнения является .

Ответ. .

Пример 2. Решим уравнение

Решение. Так как то заданное уравнение перепишем в виде или , т.е. Далее имеем

Ответ. .

Пример 3. Решим уравнение

Решение. Так как то заданное уравнение можно переписать следующим образом:

Введем новую переменную, положив , и решим полученное уравнение Его корнями являются Таким образом, решение заданного уравнения сводится к решению совокупности уравнений:

Из первого уравнения этой совокупности получаем а второе уравнение корней не имеет, так как а Итак, - корень заданного уравнения.

Ответ. .

Пример 4. Решим уравнение

Решение. Так как то имеем:

Положив получим уравнение

, (*)

которое является однородным уравнением второй степени относительно переменных и .

Так как ни при каких значениях не обращается в нуль, то, разделив обе части уравнения (*) на , получим уравнение равносильное уравнению (2):

Полагая получим:

откуда

Учитывая, что запишем совокупность уравнений:

из которой находим Значит заданное уравнение имеет два корня:

Ответ. , .

Пример 5. Решим неравенство .

Решение. Преобразуем неравенство к виду

По теореме 2 данное неравенство равносильно неравенству

Решим полученное неравенство:

Из последнего неравенства методом интервалов получаем .

Ответ. .

Пример 6. Решим неравенство

Решение. Последовательно получаем:

Разделив обе части последнего неравенства на получим равносильное неравенство , или . Здесь основание удовлетворяет двойному неравенству Значит по теореме 3 неравенство

равносильно неравенству Итак, промежуток является решением неравенства (3).

Ответ. .

Пример 7. Решим неравенство

Решение. Перепишем это неравенство следующим образом:

После замены получим неравенство

и далее или откуда

Таким образом, решение заданного неравенства сводится к решению системы неравенств

или

Эта система равносильна (так как основание ) системе откуда

Итак, промежуток является решением заданного неравенства.

Ответ. .

Задания для решения

Решите уравнения.

8.1 8.2.

8.3. 8.4.

8.5. 8.6.

8.7.

8.8.

8.9. Найдите область определения функций

Решите неравенства.

8.10.

8.11. .

Домашнее задание

Решите показательные уравнения и неравенства.

8.12.

8.13.

8.14.

8.15.

8.16.

8.17.

8.18.

8.19. Найдите область определения функций

8.20.

8.21. .

Ответы

8.1. 0. 8.2. 0. 8.3. -1. 8.4. . 8.5. . 8.6. . 8.7. 8.8. . 8.9. 8.10. 8.11. 8.12. . 8.13. 0. 8.14. 1. 8.15. 0. 8.16. . 8.17. . 8.18. 8.19. 8.20. 8.21

9. Логарифмические уравнения и неравенства

Краткие теоретические сведения

К логарифмическим уравнения относятся уравнения, содержащие неизвестное под знаком логарифма или в основании логарифма.

Простейшее логарифмическое уравнение вида где имеет решение .

Аналогично решается уравнение вида

, где , эквивалентно системе

Уравнение вида , где методом потенцирования приводится к равносильной системе

Этот метод лежит в основе решения многих логарифмических уравнений, приводимых к виду равенства логарифмов.

Простейшее уравнение вида , где приводится к равносильному уравнению с множеством допустимых значений

При решении уравнений второй и выше степени относительно логарифма необходимо обратить внимании на следующие преобразования:

1.

2.

3. .

Уравнения второй и более высоких степеней относительно логарифма решаются по методу замены переменной, а именно полагают . В результате замены переменной получается рациональное (или иррациональное) уравнение относительно у, корни которого подставляют в простейшее логарифмическое уравнение , где - рассматриваемый корень.

Решение логарифмических неравенств основано на том, что функция при монотонно возрастает, а при монотонно убывает.

С помощью методов, аналогичных методам решения логарифмических уравнений, логарифмическое неравенство сводится к простейшему виду:

1.

2.

3.

4.

5. Это неравенство эквивалентно совокупности двух систем неравенств:

.

Множество решений нестрогого неравенства находится как объединение множеств решений соответствующего строгого неравенства и соответствующего уравнения.