Необхідна умова розбіжності ряду.

Можна довести, що для збіжного ряду (тобто є необхідною умовою збіжності). З цього факту випливає, що, коли ця умова не виконується, ряд не може збігатися, тобто має місце така ознака розбіжності ряду :

якщо (або ця границя не існує), тоді ряд розбігається. (2)

Приклад. Ряд розбігається, оскільки .

Зауваження: У випадку питання про поведінку ряду цією ознакою не з’ясовується, тобто ряд може як збігатися так і розбігатися. Наприклад, , а ряд розбігається (цей факт буде доведено далі).

Ознаки збіжності рядів з додатними членами

Нехай ми маємо ряд , у якому a_n>0, n.

Ознака Даламбера : Якщо границя l відношення двох сусідніх членів ряду менша за 1, тоді ряд збігається, якщо ця границя більша за 1, тоді цей ряд розбігається. Якщо l =1, тоді питання про збіжність ряду не може бути з’ясовано за допомогою цієї ознаки. Ознака Даламбера може бути схематично записана у вигляді

(3)

Приклад. Дослідити на збіжність ряд . Тут ; .

Одже, ряд збігається.

Радикальна ознака Коші має такий схематичний вигляд: (4)

Зміст позначень у цій ознаці такий же, як у ознаці Даламбера.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд . Знаходимо , тобто цей ряд збігається.

Зауважимо, що застосовуючи достатню ознаку розбіжності у цьому прикладі, ми одержимо , тобто питання не з’ясовується; застосування ж ознаки Даламбера приводить до досить складних обчислень.

Інтегральна ознака Коші. Нехай a_n= f(n) >0, і f(x) монотонно спадає для x  1. Тоді ряд та невласний інтеграл збігаються та розбігаються одночасно.

Геометричний зміст інтегральної ознаки Коші полягає у такому. На рис. 1 зображено графік функції f(x). За геометричним змістом є площею фігури, що обмежена лінією f(x). На цьому ж рисунку бачимо, що – сума площ описаних прямокутників, а – сума площ вписаних прямокутників.

Рис. 1

Неважко бачити, що

.

Звідси отримаємо висновок: якщо збігається, то збігається і ряд . Якщо розбігається, то розбігається і ряд . Звідси легко одержати і остаточний висновок: ряд та інтеграл збігаються та розбігаються одночасно.

Приклад. Дослідити на збіжність (ряд Діріхлє p>0). Маємо f(x) = , і виконані умови інтегральної ознаки Коші. Обчислимо відповідний інтеграл та отримаємо при p1:

Окремо розглянемо випадок p=1. Маємо .

Остаточно одержимо

(5)

Приклад. Ряд збігається (p=1.5), а ряд розбігається (p=1/3).

Ряд називається також гармонічним. Він розбігається (p=1).

Ознака порівняння І (мажорантна). Припустимо, ми маємо два ряди та . Припустимо також, що 0a_nb_n n. Тоді:

1. Якщо розбігається, тоді і розбігається, тобто розбіжність ряду з менших членів веде до розбіжності ряду з більших членів, що є природним.

2. Якщо збігається, тоді й збігається. Цей факт також є зрозумілим: якщо сума більших членів є скінченою, тоді і сума менших членів буде мати скінчену границю.

Ознака порівняння ІІ (гранична).

Знову розглянемо два ряди та (a_n>0; b_n>0,n). Припустимо, що існує границя

. (6)

Тоді обидва ряди поводяться однаково, тобто: або обидва збігаються, або обидва розбігаються.

Пояснення. Наявність властивості (6) фактично означає, що a_n відрізняється від b_n (принаймні для великих n) приблизно в  разів. Тому згідно загальної властивості (ЗВ) 1 (стор.2) обидва ряди повинні збігатися або розбігатися одночасно. При застосуванні ознак порівняння один з рядів – той, збіжність якого необхідно з’ясувати, другий (він називається рядом порівняння) – ми повинні вибрати самі і мати відомість про його збіжність або розбіжність.

У якості рядів порівняння часто застосовуються ряди Діріхлє (5).

Приклад. Дослідимо на збіжність ряд = . Зрозуміло, що lnn>1 , якщо n>2, а цього згідно з ЗВ2 достатньо для подальших висновків. Маємо нерівність ,. але ряд розбігається. Тому на основі мажорантної ознаки порівняння робимо висновок про розбіжність початкового ряду.

Приклад. Розглянемо ряд . Спробуємо застосувати ідею попереднього прикладу. Маємо . Ряд збігається як ряд Діріхлє (p=2), але це не дозволяє з’ясувати поведінку даного ряду, оскільки тут збігається менший з рядів, а це не дає можливості зробити будь-якій висновок відносно більшого ряду.

Дослідження цього ряду можна провести, застосовуючи ознаку порівняння таким чином. Доведемо, спочатку що . Дійсно, розглянемо функцію . Маємо . Звідси маємо, що для похідна , тобто функція f(x) спадає для . При цьому маємо f(7)–0.62<0. Внаслідок спадання ця функція буде від’ємною і для , тобто , і . Звідси маємо

(n > 4).

Оскільки ряд збігається (ряд Діріхлє з p=3/2), то згідно з граничною ознакою порівняння збігається і ряд .

Приклад. Розглянемо ряд . Маємо . Візьмемо . Неважко довести, що .

Застосовуючи граничну ознаку порівняння, дістанемо висновку: ряд збігається, оскільки ряд збігається (це ряд Діріхлє з p=2).

Зауваження: У останніх трьох прикладах умови відповідних теорем виконуються не для усіх членів ряду, а починаючи з деякого . Власне кажучи, ми довели збіжність рядів , але з урахуванням ЗВ2, ті ж висновки дійсні і для заданих рядів.

Зауваження: З урахуванням ЗВ1 при  = –1 в (6) наведені властивості придатні і для дослідження рядів, усі члени яких є від’ємними.