Функціональні ряди

Розглянемо нескінчену послідовність функцій , які мають спільну область визначення D_в.

Ряд з функцій (він називається функціональним рядом) є числовим рядом, якщо x – фіксоване число з D_в. Для деяких x він збігається, для інших – розбігається. Сукупність тих x , для яких ряд збігається, утворює так звану область збіжності ряду D.

Очевидно, якщо xD, сума ряду S існує і залежить від x, тобто є функцією від x, і для функціональних рядів можна записати

 x  D.

Основні задачі при вивченні функціональних рядів полягають у тому,щоб визначити область збіжності D та знайти S(x).

Одними з простіших типів функціональних рядів, що часто застосовуються, є так звані степеневі ряди.

Степеневі ряди Степеневі ряди – це функціональні ряди, що мають вигляд

,

де x₀, a_n (n=0,1,2,…) – задані фіксовані дійсні числа, x – змінна. Можна розглядати випадок, коли усі ці числа комплексні, але ми цього робити.не будемо .

Для степеневих рядів область збіжності має просту структуру, а саме, існує таке число R (0R ), що:

- ряд збігається ( причому абсолютно), коли x–x₀< R, тобто x(x_0–R;x_0+R) - ряд розбігається коли x–x₀>R, тобто x x₀ – R ; x₀ +R (10)

Число R називається радіусом збіжності, а інтервал (x_0–R;x_0+R)– інтервалом збіжності. Якщо x – x₀=R, ( тобто x=x₀R ), ряд може збігатися, а може розбігатися. Ці два значення називаються граничними точками інтервалу збіжності, вони відокремлюють область збіжності від області розбіжності степеневого ряду.

Графічна інтерпретація цих фактів подана на рис.2.

Рис.2

Для знаходження радіусу збіжності можна застосовувати узагальнені ознаки Даламбера або Коші.

Приклад: Визначити область збіжності ряду . Знайдемо . Узагальнена ознака Даламбера дозволяє зробити висновок, що ряд збігається, якщо . Розв’язуючи цю нерівність, одержимо , тобто R=0.2.

Це є співвідношення типу (10). Геометрична інтерпретація має вигляд

Рис. 3

Інтервал збіжності I = (x₀ – R ; x₀ +R) = (–2.2;–1.8)

Зауважимо, що для знаходження R можна застосовувати також наступні формули:

або , (11)

які є наслідками згаданих вище узагальнених ознак Даламбера або Коші. У наведеному вище прикладі одержимо .

З’ясуємо поведінку ряду у граничних точках області збіжності .

Розглянемо спочатку точку x₂= – 1.8. З початкового ряду одержимо

.

Для дослідження цього ряду на збіжність застосуємо граничну ознаку порівняння. Як ряд порівняння візьмемо гармонічний ряд . Оскільки , ряди поводять себе однаково, і початковий ряд розбігається, тому що розбігається гармонічний ряд.

Підставимо тепер у початковий ряд . Одержимо числовий ряд

.

Це знакопереміжний ряд. Перевіримо виконання умов теореми Лейбніца:

1) виконано, оскільки .

2) виконано, оскільки . (Знаменник першого дробу завжди менший за знаменник другого, тому – перший більше другого). Таким чином, умови теореми Лейбніца виконані, значить, цей числовий ряд збігається, тобто точка належить області збіжності. Зауважимо, що ця збіжність носить умовний характер, бо ряд з абсолютних величин ,як доведено вище, є розбіжним.

Таким чином, областю збіжності степеневого ряду

є напіввідкритий інтервал . Цей результат можна записати також у вигляді

.