2.8. Найпростіші коливальні реакції

Коливальні моделі широко використовуються в хімії й біології. Автокаталічні реакції зі зворотними зв’язками й динаміка чисельності популяцій описуються системою нелінійних диференціальних рівнянь.

Очевидно, перше кінетичне коливальне рівняння для хімічної реакції, що відбувається в гомогенному середовищі, написав А.Д. Лотка в 1926 році (модель хімічної реакції). Ця реакція тоді була чисто гіпотетичною, і тільки останнім часом знайдені дійсні хімічні реакції, що протікають у коливальному режимі. Вони відрізняються від схеми Лотки більшою складністю, проте в багатьох наукових дослідженнях реакція Лотки використається як деяка навчальна модель, що відбиває важливі особливості всіх періодичних реакцій.

Кінетична схема цієї реакції виглядає в такий спосіб:

k₀ k₁ ← k₂

A → X → Y → B

У деякому обсязі перебуває в надлишку речовина А. Молекули А з деякою постійною швидкістю k₀ перетворюються в молекули речовини X (тут ми маємо справу з реакцією нульового порядку). Речовина X може перетворюватися в Y. Це вже реакція другого порядку, тому що швидкість її тим більше, чим більше концентрація речовини Y. (У схемі на цю залежність указує зворотна стрілка над символом Y). Молекули Y у свою чергу необоротно розпадаються, у результаті утвориться речовина В (реакція першого порядку).

Напишемо математичну модель реакції, позначивши для простоти символами X, Y, B концентрації відповідних речовин:

dX

— = k₀ – k₁ XY,

dt

dY

— = k₁XY – k₂ Y ,

dt

dB

— = k₂ Y .

dt

Тому що перші два рівняння не залежать від В, їх можна розглядати окремо.

Тепер розглянемо модель, запропоновану В. Вольтерра в 1931 році, яка описує взаємодію видів у біоценозах (модель хижак – жертва).

Нехай у деякому замкнутому районі живуть, наприклад, зайці й рисі. Зайці харчуються рослинною їжею, наявної завжди в достатній кількості. Рисі (хижаки) нехай можуть харчуватися як тільки зайцями (жертвами). Позначимо число зайців у цьому районі через X, а число рисей через Y. Числа X і Y є функції часу.

Тому що кількість їжі для зайців необмежена, ми можемо припустити, що якби зайці жили на світі одні, те їхнє число зростало б пропорційно числу наявних особин:

dX

— = k₁ X .

dt

Якби на світі жили одні рисі, то поступово б вони вимерли, так як харчуватися їм не було б чим. Це математично записується так:

dY

— = – k₃ Y.

dt

Нехай тепер рисі й зайці живуть спільно. Тоді можна припустити, що кількість рисей буде наростати тим швидше, чим частіше будуть відбуватися зустрічі рисей і зайців. Частота таких зустрічей характеризується величиною, пропорційної добутку XY. У підсумку ми маємо:

dX

— = k₁X – k₂ XY ,

dt

dY

— = k₂XY – k₃ Y ,

dt

де k₁ – константа швидкості природного розмноження; k₂ – константа взаємодії хижак – жертва; k₃ – константа швидкості природного вимирання хижаків.

Це нелінійні диференціальні рівняння. Помітна схожість рівнянь хімічної моделі Лотки й біологічної моделі Вольтерра. У стаціонарному режимі

dX dY

— = 0 і — = 0 ,

dt dt

і тоді стаціонарна чисельність жертв і хижаків становитиме відповідно:

k₃ k₁

X₀ = — , Y ₀ = — .

k₂ k₂

Розв'язки диференціальних рівнянь будуть такими:

X = X₀ + x e^ωt та Y = Y₀ + y e^ωt,

де x і y – малі відхилення від стаціонарної точки: x << X₀ і y << Y₀; ω – частота коливань чисельності X і Y. Підставивши розв'язки у диференціальні рівняння й нехтуючи величинами високих порядків, отримуємо рівняння для частоти:

ω x + k₃ y = 0 та –k₁ x + ω y= 0.

Характеристичне рівняння для визначення частоти ω має вигляд:

ω² + k₁ k₃ = 0.

Тоді розв'язок цього рівняння дає:

_{_________}

ω_1,2 = ± і √ k₁ k₃ .

Отже, популяції жертв X і хижаків Y циклічно змінюються з однаковою частотою навколо стаціонарної точки X₀ і Y_0. Зміну чисельності жертв X і хижаків Y подають у вигляді фазового портрету (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Фазова траєкторія зміни чисельності жертв X і хижаків Y:

0 – особлива точка (центр), яка визначає стаціонарний стан системи

Дослідження системи показують, що траєкторії поблизу особливої точки є концентричними еліпсами, а сама точка є центром. Розглянута модель Вольтерра й удалині від особливої точки має замкнуті траєкторії, щоправда, форма цих траєкторій уже відрізняється від еліпсоїдальної (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Фазова площина перемінних X і Y.

Особлива точка типу центр є нестійкою точкою. Нехай коливання X (t) і Y(t) відбуваються таким чином, що зображувана точка, рухається на фазовій площині по траєкторії 1 (рис. 2.4). У момент, коли точка перебуває в положенні М, ззовні в систему додається деяка кількість особин Y, така, що зображувана точка перескакує із точки М у точку М'. Після цього, якщо система знову надана сама собі, коливання X і Y уже будуть відбуватися з більшими амплітудами, чим колись, і зображувана точка буде рухатися по траєкторії 2. Це означає, що коливання в системі нестійкі: вони назавжди змінюють свої характеристики при зовнішній дії.

На рис. 2.5 наведені графіки X (t) і Y(t), які легко можуть бути отримані при рішенні системи диференціальних рівнянь за допомогою електронної аналогової установки. Із цього малюнка видно, що як X (t) ,так і Y (t) являються періодичними функціями часу, причому максимум чисельності жертв X завжди випереджає максимум чисельності хижаків Y.

Рис. 2.5. Залежність чисельності хижаків Y і жертв X від часу

Звернемося тепер до експериментальних даних. На рис. 2.6 наведений добре відомий приклад коливання чисельності північно-американського зайця, і рисі в Канаді. Ці криві побудовані на підставі даних про число шкурок, що надходили у контори по заготівлі хутра. Видно, що періоди коливань чисельності зайців (жертв) і рисей (хижаків) приблизно однакові й порядку 9-10 років. При цьому максимум чисельності зайців випереджає, як правило, максимум чисельності рисі на 1 рік. Звичайно, криві, узяті з життя, мають не настільки правильну форму, як криві, отримані на підставі математичної моделі. Але це й не дивно: на практиці потрібно враховувати не тільки взаємини основних партнерів по взаємодії: зайців і рисей, але й наявність інших хижаків і жертв у Канаді, різні кліматичні умови, удачливість мисливців, які поставляли шкурки, і т.п.

Періоди коливань чисельності зайців (жертви) і рисей (хижаки) приблизно однакові і складають 9 – 10 років. При цьому максимум чисельності зайців випереджає, як правило, максимум чисельності рисей на один рік.

Рис. 2.6. Криві чисельності зайців і рисей в Канаді

Близькі до моделі Вольтерра – Лотки фазові траєкторії є характерними для багатьох автокаталічних реакцій. Можливі більш складні типи дисипативних структур з іншими фазовими траєкторіями.

Існує інший різновид коливальних систем, поведінка яких на фазовій площині описується стійким граничним циклом. Коливання в таких системах будуть стійкими відносно відхилень, які викликані певними добавками в систему. До таких моделей коливальних біологічних процесів можна віднести фотосинтез і гліколіз.

Коливальні системи володіють рядом важливих і цікавих особливостей. Одна з них – здатність до взаємної синхронізації, коли і з безлічі слабко зв'язаних коливальних процесів виникає гармонія періодичного явища.

Доречно сказати про ідею Н. Вінера, пов'язану з існуванням мозкових хвиль. На енцефалограмі, що реєструє біоструми мозку, можна помітити періодично повторні піки, що слідують один за одним із частотою близько 9 Гц. Це так званий α-ритм мозку, що, очевидно, управляє багатьма нервовими процесами. Зокрема, стробування зображення оком відбувається із частотою 9-10 Гц. Н. Вінер уважає, що α-ритм формується в результаті взаємної синхронізації безлічі елементарних генераторів біострумів, розташованих у мозку й що мають, цілком ймовірно, біохімічну природу.

Таким чином, складні системи організується за принципом синхронізації багатьох коливальних малих систем, що становлять разом одну більшу синхронну систему к л а с т е р (англійське слово cluster означає «об'єднання по загальній ознаці»). Можна стверджувати, що принцип строгої синхронізації окремих коливальних процесів є загальним принципом, що забезпечує доцільну діяльність складної коливальної системи і поєднує всі ці процеси.

Існує воістину чудова властивість автоколивальних систем, про яку свого часу говорив Н. Вінер – автоколивальні системи здатні до автоматичної взаємної синхронізації, якщо вони зв'язані між собою. Виходить, якщо зв'язати в одну систему автоколивальні системи, то не потрібно думати про спеціальні пристрої, які забезпечать синхронізацію, – вона виникає сама.

Біологічний годинник – що це таке? Мабуть можна говорити, що біологічний годинник і є тією потужною синхронізуючою системою, яка задає ритим всім іншими системам.

Останні роки докладно досліджується робота серця – однієї із самих досконалих коливальних систем, створених природою. Правильність роботи серця визначається синхронною роботою цілих груп м'язів, що забезпечують поперемінне скорочення шлуночків і передсердь. Синхронізацію цієї роботи забезпечує спеціальний орган, так званий синусний вузол, що виробляє з певною частотою синхронізуючі імпульси електричної напруги. Якщо синхронний режим скорочення серцевих м'язів порушується, то можуть наступити так звані фібриляції – хаотичні судороги окремих волокон серцевого м'яза, які, якщо не прийняти екстрених заходів, приводять до загибелі організму. Термінові міри полягають у вимушеній синхронізації серця за допомогою спеціального масажу або ж за допомогою електричних імпульсів від лабораторного генератора. Іноді мініатюрний електронний генератор синхронізуючих імпульсів навіть вживлюється в організм. Синхронізація коливань серцевого м'яза відбувається на фізіологічному рівні, у ній головну роль грає нервова система.

У житті окремих клітин і колективів клітин коливання й синхронізація цих коливань також мають місце. Виявляється, що різні органели клітини – ядро, рибосоми, мітохондрії – коливаються, змінюючи свою форму й об'єм.

Можливі більш складні типи дисипативних структур, коли через зміну в часі концентрацій і порушення просторової гомогенності виникають біжучі хвилі, які поширюються в об'ємі. Такі хвилі утворюють різної форми спіралі. Автохвильові процеси спостерігаються в численних активних біологічних системах.

Першу найпростішу модель збудливого середовища було запропоновано Н. Вінером і Ф. Розенблютом (1946). Рух хвиль збудження спостерігається в живій тканині, яка складається зі збудливих клітин. Виникнення хвиль збудження та їх поширення визначаються характерними властивостями елементів активного середовища.

Кожен елемент може перебувати у трьох станах (збудження, рефрактерності та спокою) і має запас енергії (у вигляді мембранного потенціалу чи енергії окиснення), яка використовується для поширення збудження на значні відстані. Перехід між цими станами відбувається з певною періодичністю, що визначає автохвильовий процес в активному середовищі.

У табл. 1 наведене зведення відомих автохвильових процесів, які спостерігаються в біологічних і хімічних системах. З табл. 1 видно, що найбільш швидкі процеси пов'язані з поширенням електричних імпульсів - сигналів, що служать для регуляції біологічних процесів. Це нервові імпульси, швидкі хвилі в нейронних мережах мозку, хвилі збудження в м'язах. Середні швидкості процесів спостерігаються в хімічних реакціях; малі швидкості – іноді усередині живих клітин, вони пов'язані з механізмами нем'язової рухливості.

Умови, необхідні для виникнення процесів самоорганізації. можуть бути сформульовані в такий спосіб:

1. Система є термодинамічно відкритою, тобто може обмінюватися речовиною й енергією із зовнішнім середовищем.

2. Динамічні рівняння системи нелінійні.

3. Відхилення від рівноваги перевищують критичне значення (яке може бути й нулем).

4. Мікроскопічні процеси в системі відбуваються кооперативно (самоузгоджено).

Таблиця 1.

Експериментально спостережувані автохвильові процеси

Об'єкт	Тип АХ-процесу	Швидкість БФ або БІ	Характерний розмір, довжина хвилі
Окиснення броммалонової кислоти у присутності каталізуючих іонів церію або заліза (реакція Білоусова-Жаботинського)* Аксон кальмара Ламелла нормальних фібробластів миші Ікра прісноводної риби ("хвиля" вивільненого кальцію) Неоднорідна активність ферментів у цитоплазмі Плазмодій міксоміцета Культура тканини з міофібрил Провідна система серця* М'яз міокарду собаки* Дельтовидний м'яз собаки Гладенькі м'язи Нейронна сітка*: швидкі хвилі повільні хвилі Популяція амебоподібних клітин Коралові полипи	СА, СХ, КСХ БІ, ПЦ, ДС БФ, БІ БІ БІ ДС БІ, СА, СХ БІ БФ, БІ, ПЦ БІ БІ БІ КСХ, БІ БІ БІ, ПЦ БІ	0-10 см/с 21 м/с 0,2 мкм/с 8 мкм/с 0 30 мкм/с 50-200 мкм/с 25-300 см/с 30 см/с 5 м/с 5-10 см/с 10-50 см/с 2-5 мм/хв 40 мкм/с 50 см/с	1-10 мм 2-6 см 10 мкм - - 3-5 мм 10-20 мкм 1,5-150 см 3 см 5 см - 2-12 см 6-25 мм 1 см 1 см

Умовні позначення. БІ, БФ - поширення збурювання у вигляді біжучого імпульсу або біжучого фронту; ПЦ - генерація хвиль автономними джерелами імпульсу активності, так званими провідними центрами; ДС - стаціонарні неоднорідні розподіли кінетичних змінних у просторі; КСХ - квазістохастичні хвилі; СА - синхронні автоколивання у всьому просторі; СХ - спіральні хвилі.

* У цих системах можливі процеси, що мають етапи, на яких зміни перемінних відбуваються з сильно відмінними часовими характеристиками; у них можуть здійснюватися різні класи АХ-процесів.

У літературі широко обговорюється питання про можливу роль дисипативних структур. За І. Пригожиним, походження життя могло бути пов'язано із серією послідовних біфуркацій, які привели до створення систем з підвищеною упорядкованістю. М. Ейген запропонував гіпотезу про спеціальні дисипативні структури, так звані гіперцикли, утворення яких стало необхідним етапом еволюційного розвитку біологічних об'єктів (рис. 2.7). Гіперцикл – це об'єднання самовідтворюваних елементів обмеженого розміру в нову стійку систему, якій притаманна узгоджена в часі еволюція.

Рис. 2.7. Схематичне зображення чотирьох еволюційних етапів –

від простого неорганічного матеріалу до біологічних систем

На останок необхідно зробити попередження. Не можна думати, що яка-небудь сама загальна теорія, самі загальні принципи, самі досконалі моделі, що опираються навіть на всю могутність обчислювальних машин, звільнять нас від кропіткого вивчення самих біологічних або яких-небудь інших об’єктів, від великої кількості вимірювань різних величин, на основі аналізу яких і створюються самі моделі.

33