2.6. Лабораторная работа № 16
Метод конечных элементов
2.6.1. Методические указания
Метод конечных элементов является модификацией метода Ритца. Здесь также граничную задачу математической физики заменяют вариационной.
Так, для уравнения Пуассона
,
(6.1)
где ищется решение в замкнутой области G , удовлетворяющее граничным условиям на границе :
.
(6.2)
Эквивалентная вариационная задача имеет вид
(6.3)
Замкнутая область G разбивается на элементы с учетом ожидаемых свойств решения. Простейшим элементом является треугольник. Вершины треугольника нумеруются таким образом, чтобы матрица системы алгебраических уравнений была близка к трехдиагональной. В каждом элементе i–й узел помещают в первой вершине, j–й и k–й располагают против часовой стрелки.
Решение вариационной задачи (как в методе Ритца) в виде линейной комбинации базисных функций
,
(6.4)
где
- базисные функции;
-
коэффициенты Ритца.
Базисные функции в конечном элементе принимают значение «единица» в вершине i треугольника и в других вершинах j и k принимают заначение «нуль», а также равны нулю на других треугольниках.
Для узловых точек данного треугольника i, j, k координатные базисные функции имеют вид
,
где
(6.5)
,
где
(6.6)
,
где
(6.7)
А – площадь треугольника
.
(6.8)
Такой выбор базисных функций дает свойство, что значения искомой функции в вершинах треугольника совпадают с коэффициентами Ритца.
Условием экстремума функционала (6.3) является равенство нулю его градиента
.
(6.9)
Функционал
представим как сумму функционала на
конечных элементах
,
(6.10)
где L – количество элемента разбиения области G.
Для первого элемента компоненты градиента
(6.11)
где m - количество узлов в элементе при разбиении области G на элементы.
Уравнение (6.9) может быть сведено к матричному уравнению для l – го элемента
.
(6.12)
Матрица В для 1-го элемента имеет вид по (6.11)
.
(6.13)
Матрицу
дополняют нулями до
матрицы и транспонируют для вычисления
матрицы жесткости для l
– го элемента
.
(6.14)
Правая часть матричного уравнения (6.12) вычисляется с помощью формулы расчета интегралов для L – координат.
С помощью суммирования матриц (6.12) для l – го элемента получают общую систему уравнений для определения вектора коэффициентов Ритца.
,
(6.15)
где
- общая матрица жесткости;
-
вектор коэффициентов Ритца;
-
вектор нагрузки.
Решение системы (6.15) дает вектор коэффициентов Ритца, который совпадает с решениями задачи (6.1), (6.2).
2.6.2. Порядок выполнения работы
1. Для уравнения кручения стержня
(6.16)
подготовьте разбиение области G на конечные элементы.
Здесь:
- модуль сдвига материала
;
- угол закручивания на единицу длины
.
Область G представляет квадрат со сторонами, заданными в табл. 2.6.
Составьте вручную систему уравнений (6.15) для вычисления коэффициентов Ритца.
2. Составьте программу для решения системы (6.15) с вводом вычисленных исходных данных. По желанию возможно также составление программы подготовки матричного уравнения (6.15).
Проведите расчет, получите таблицу решений.
Таблица 2.6
№ варианта |
Сторона квадрата (см) |
Количество треугольников разбиения |
1, 2 , 3 4, 5, 6 7, 8, 9 10, 11, 12 13, 14, 15 |
1 2 4 1 2 |
4 4 2 2 4 |
3. Ответьте на вопросы:
1. Что такое конечный элемент?
2. Что такое L – координаты? Для чего они применяются в методе конечных элементов?
3. Из каких соображений производится нумерация узлов при разбиении заданной области на элементы?
4. Какими свойствами обладают базисные функции в методе конечных элементов?
5. Правомерна ли замена дифференциального уравнения (6.1) на вариационную задачу (6.3)?
6. Что такое матрица жесткости и вектор нагрузки? Откуда такая терминология?