1.3. Лабораторная работа № 3

МЕТОД РУНГЕ-КУТТА

1.3.1. Методические указания

Рассматривается обыкновенное дифференциальное уравнение с начальными условиями (2.1).

Аналогично строится на заданном интервале сетка с шагом h:

Итерационный процесс прохода по точкам заданного отрезка [а, b] осуществляется по формулам

, (3.1)

где , (3.2)

а коэффициенты Рунге определяются по формулам

(3.3)

Формулы метода соответствуют разложению решения в ряд Тейлора до четвертого порядка производных.

Метод Рунге-Кутта заключается в том, что yi вычисляются с шагом h, а затем проводятся повторные вычисления с шагом h/2. Если разница вычисления для точки меньше заданного , то расчет производятся с шагом h, в противном случае берется шаг h/2.

Оценку погрешности можно производить также по правилу Рунге

, (3.4)

где - решение с шагом h,

- решение с шагом h/2.

1.3.2. Порядок выполнения работы

1. Составьте программу метода Рунге-Кутта 4-го порядка точности с автоматическим изменением шага.

2. Проведите расчет в соответствии с заданием в табл. 1.1.

3. Ответьте на вопросы:

1. В чем преимущества метода Рунге-Кутта?

2. Каков порядок точности метода?

3. Является метод Рунге-Кутта самостартующим?

4. Для чего применяется автоматическое изменение шага?

1.4. Лабораторная работа № 4

Метод Рунге-Кутта для систем уравнений

1.4.1. Методические указания

Рассматривается задача Коши для двух уравнений

(4.1)

Вначале вычисляются коэффициенты Рунге :

(4.2)

(4.3)

Приближенное значение решения вычисляется для каждой точки по формулам:

(4.4)

Далее осуществляется сдвиг на h по точкам разбиения интервала и заменяется на в формулах (4.2), (4.3), (4.4) и т.д.

1.4.2. Порядок выполнения работы

1. Составьте программу метода Рунге-Кутта для системы уравнений с правильной организацией циклов, шаг выберите самостоятельно.

2. Проведите расчет по данным варианта таблицы (1.2).

3. Ответьте на вопросы:

1. Как применить метод Рунге-Кутта к дифференциальному уравнению второго порядка?

2. В каких случаях для системы дифференциальных уравнений необходимо применить автоматическое изменение шага?

3. Является ли метод самостартующим?

Таблица 1.2

Вари-ант	Уравнения		a, b	n	k	Начальные данные
1 2 3 4			a=2+0,5n b=2+0,5k	0 1 2 3 4	0 1 2 3 5	;
5 6 7 8 9			a=2+0,5n b=2+0,5k	0 1 2 3 4	0 1 2 5 3	;
10 11 12			a=2+0,5n b=2+0,5k	0 1 2	0 1 2	;
13 14 15			a=1+0,4 k b=2+0,5k	0 1 2	0 3 4	;