1.7. Лабораторная работа № 7
Метод конечных разностей
1.7.1. Методические указания
Применяются для граничных задач вида
;
(7.1)
(7.2)
Отрезок аргумента [a,b] разбивается на интервалы с шагом h. Путем замены производных конечными разностями строится система конечно-разностных уравнений
;
(7.3)
(7.4)
(i=1,2…n-1)
Здесь
использованы симметричные конечные
разности. Далее решается система
n+1
алгебраических уравнений относительно
;
;
…
.
1.7.2. Порядок выполнения работы
1.
Составьте программу алгоритма метода
конечных разностей с точностью
при шаге h=0,1 (см. табл. 1.3).
Для решения системы алгебраических уравнений использовать метод Гаусса.
2. Проведите расчет в соответствии с вариантом табл. 1.3, получите таблицу решений.
Для достижения заданной точности применить правило Рунге с двойным пересчетом (с шагом h и h/2).
3. Ответьте на вопросы:
1. В каких ситуациях необходимо применение метода конечных разностей?
2. Каково правило Рунге для этого метода?
3. Какие сложности возникают при использовании метода Гаусса для решения системы алгебраических уравнений?
Таблица 1.3
№ варианта |
Уравнение |
Граничные условия |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
|
6 |
|
|
|
7 |
|
|
|
8 |
|
|
|
9 |
|
|
|
10 |
|
|
|
11 |
|
|
|
12 |
|
|
|
13 |
|
|
|
14 |
|
|
|
15 |
|
|
|
1.8. Лабораторная работа № 8
Метод прогонки
1.8.1. Методические указания
Рассматривается граничная задача
,
(8.1)
при граничных условиях
(8.2)
Заменой производных конечными разностями для узлов разбиения отрезка [a,b] аргумента с шагом h:
получают систему конечно-разностных уравнений, которую решают методом прогонки. Вначале определяются коэффициенты прямого хода:
(8.3)
где обозначено
(8.4)
(8.5)
После
этого, зная
и
,
можно проделать обратный ход для
определения
;
(8.6)
(8.7)
Для оценки погрешности производят двойной просчет при шаге h и шаге h/2 и сравнивают их, используя правило Рунге.
1.8.2. Порядок выполнения работы
1. Составьте программу алгоритма прогонки, используя данные варианта табл. 1.3 с шагом h=0,05 и точностью .
2. Получите таблицу решений в численном виде с указанным шагом h с обеспечением заданной точности по правилу Рунге.
3. Ответьте на вопросы:
1. В чем идея метода прогонки?
2. Как оценить погрешность приведенных вычислений?
3. Каковы условия устойчивости метода прогонки?
4. В чем разница применения обычного метода Гаусса и метода прогонки для решения системы уравнений в конечных разностях?