3. Основні операції над висловленнями
Кон’юнкція висловлень, або логічний добуток («і..., і...»)
Термін кон’юнкція латинського походження (соnjunctio – зв’язую). Для його позначення використовується символ /\, схожий з символом перетину (добутку) множин . Кон’юнкція висловлень ще називається логічним добутком висловлень і може бути означена за допомогою таблиці, яка зовні збігається з таблицею множення для чисел нуль і одиниця:
0 ∙ 0 = 0 ∙ 1 = 1 ∙ 0 = 0; 1∙ 1 = 1.
Означення. Кон’юнкцією (логічним добутком) двох висловлень А і В називається складене висловлення А /\ В (читається «А і В»), яке істинне тоді і тільки тоді, коли істинні обидва висловлення А і В, і хибне в усіх інших випадках.
Кон’юнкцію двох висловлень дістають з двох простих, об’єднавши їх словом «і». Наприклад: «Середня лінія трикутника паралельна його основі і дорівнює її половині»; «24 – парне число і ділиться на 6».
Таблиця істинності операції кон’юнкції
А |
В |
А /\ В |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Приклад 1. «2 > 3 /\ 2 – число складене» – хибне висловлення, бо обидва прості висловлення
«2 > 3» і «2 – число складене» – хибні.
Приклад 2. «2 > 3 /\ 2 – число просте» – хибне висловлення, бо одне з простих висловлень
«2 > 3» – хибне.
Приклад 3. «2 < 3 /\ 2 – число просте» – істинне висловлення, бо обидва прості висловлення істинні.
Диз’юнкція, або логічна сума висловлень («...або...»)
Означення.
Диз’юнкцією
двох висловлень
називається
складене висловлення
А
В (читається А або В), яке хибне тоді і
тільки тоді, коли хибні обидва висловлення
А і В, і істинне, якщо хоч би одне із них
істинне.
Знак диз’юнкції схожий із знаком об’єднання множин .
Диз’юнкцію висловлень інакше ще називають логічною сумою висловлень. Термін диз’юнкція також латинського походження – disjunction – розрізняю. Таблиця істинності для диз'юнкції висловлень А і В дещо нагадує таблицю додавання чисел 0 і 1: 0 + 0 = 0; 1 + 0 = 0 + 1 = 1, а от тільки 1 + 1 = 1, а не 2. Це підкреслює особливості алгебри логіки, де на відміну від алгебри чисел нас цікавить не кількісний результат, а лише наявність – «є» чи «немає», тобто істинне висловлення (1) чи хибне (0).
Диз’юнкцію двох висловлень дістають, об’єднавши їх словом «або». Наприклад: «Рівняння х2 – 4=0 має корінь 2 або – 2»; «Я поїду до Києва автобусом або поїздом».
Таблиця істинності операції диз’юнкції
А |
В |
А В |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Приклад: А В – «На столі лежить зошит або книжка». Це висловлення істинне, якщо на столі лежить хоча б один із цих предметів: або зошит, або книжка, або і зошит, і книжка. Якщо ж на столі немає ні зошита, ні книжки, це висловлення хибне.
Заперечення висловлення
Означення. Запереченням висловлення А є таке висловлення Ā, яке істинне тоді і тільки тоді, коли А – хибне, і хибне, якщо А – істинне.
Наприклад, дано
висловлення: А – «Десна – притока
Дніпра», тоді висловлення
– «Десна не є притокою Дніпра» або
«Неправильно, що Десна є притокою Дніпра»
– є запереченням даного висловлення.
Таблиця істинності операції заперечення
А |
Ā |
1 |
0 |
0 |
1 |
Наприклад: А – «Число 3 є дільником числа 39» – істинне висловлення, тобто А = І, тоді його заперечення – «Число 3 не є дільником числа 39» за означенням – хибне висловлення:
– X.
Питання для узагальнення
Які логічні операції існують над висловленнями?