4. Предикат (висловлю вальні форми)

У математиці часто розглядають речення, які містять одну або декілька змінних.

Наприклад: х > 3; х² + 5х + 6 = 0; х + у = 7. Відносно цих речень не має смислу питання: істинні вони чи хибні, бо при одних значеннях змінної вони перетворюються в істинні висловлення, а при інших у хибні. Речення такого виду називаються предикатами або висловлювальними формами. Слово «предикат» у перекладі з латинської мови означає «присудок». Позначимо дані речення – h(х), f(х). Це висловлювальні форми від однієї змінної, або одномісна висловлювальна форма. Предикат «х = у» – є двомісним предикатом: р (х; у).

Висловлювальна форма (предикат) – це речення з однією або двома змінними, яке перетворюється у висловлення при підстановці в нього конкретних значень змінної. Предикати є одномісні, двомісні і т.д. (Н: «х > 3» – простий, одномісний предикат (замість х підставимо число і предикат перетвориться на висловлення), «х + у = 10» - це простий, двомісний предикат. «х > 3 і х – двозначне число» – складений одномісний предикат.)

Прикладами предикатів в шкільному курсі математики є: рівняння з однією або декількома змінними, нерівності зі змінними, системи рівнянь або нерівностей тощо. Найпоширеніші з предикатів в математиці мають свої позначення. Наприклад: «х дорівнює у» позначається «х = у»; «х менше або дорівнює у» позначається «х ≤ у»; «х паралельно у» позначається «х || у».

Відносно висловлювальної форми виникає питання: при яких значеннях змінної ця форма перетворюється в істинне або хибне висловлення. Якщо це рівняння, нерівність, система рівнянь чи нерівностей, то для відповіді на це питання їх треба розв’язати, тобто знайти їх множини розв’язків.

Наприклад: знайти множину істинності предикатів: 2х = 10; х = 25; > 3.

Для відповіді на це запитання необхідно розв’язати дані рівняння, нерівність та вказати при яких значеннях х вони перетворюються у правильні числові рівності або правильну числову нерівність, тобто у істинні висловлення. Множинами істинності даних предикатів є множини їх розв’язків.

Отже, висловлювальна форма (предикат) – це речення з однією або двома змінними, яке перетворюється у висловлення при підстановці в нього конкретних значень змінної. Прикладами предикатів в шкільному курсі математики є: рівняння з однією або декількома змінними, нерівності зі змінними, системи рівнянь або нерівностей тощо.

Питання для узагальнення

• Що називається предикатом?

• Що означає слово «предикат» у перекладі з латинської мови?

• Які бувають предикати?

5. Квантори. Структура висловлень, що містять слова «всі», «деякі»

Часто у висловленнях використовуються слова «всі», «деякі», «будь-які», «існує», «хоч би один», «кожен», «знайдеться» тощо.

Наприклад: «Всі числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – одноцифрові», «Деякі з одноцифрових чисел діляться на 3», «Існують рівносторонні трикутники» тощо. Відносно цих речень можна сказати, що вони істинні або хибні, а тому ці речення є висловленнями. Якщо ж з даних речень забрати слова «всі», «деякі», «існують», то вони перетворюються у предикати.

Слова «всі», «деякі» тощо називаються кванторами. Слово «квантор» латинського походження і означає «скільки», тобто квантор показує, про скільки об’єктів (про всі чи про деякі) іде мова у даному реченні.

Предикат перетворюється у висловлення при підстановці замість змінної конкретного значення. Можна це зробити при «навішуванні» кванторів – загальності та існування.

Вираз «для всякого х» («для любого х», «для кожного х», «для будь-якого х») називається квантором загальності і позначається .

Слова «існує», «деякі», «знайдеться», «хоч би один» називаються квантором існування і позначається .

Отже, якщо перед одномісним предикатом поставити квантор, то одержимо висловлення.

Приклади: 1. Для любого числа х вираз 2х ділиться на 2. (і)

2. Всі квадрати – прямокутники. (і)

3. Деякі непарні числа діляться на 3. (і)

Істинність висловлень з кванторами встановити можна так:

1. Квантор загальності перетворює предикат в істинне висловлення, якщо можна довести істинність (повна індукція), або довести хибність конкретними прикладами.

Приклад: 1. Для будь-якого числа від 0 до 9, нерівність буде правильною х + 1 > х. Істинність можна довести перебравши усі числа.

2. Для будь-якого дійсного числа х, нерівність х > 3 правильна. Хибність можна довести контр прикладом 2 > 3.

2. Квантор існування перетворює предикат в істинне висловлення, якщо можна навести конкретний приклад або хибність довести повною індукцією.

Приклад: Існують натуральні числа кратні 5.(Це такі числа як 5, 25, 15…).

Правила побудови заперечення висловлень, які містять квантори:

Якщо висловлення хибне, то його заперечення повинно бути істинним і навпаки. Заперечення висловлень з кванторами можна побудувати так:

1) Можна поставити слова спереду («невірно що» …).

Приклад:

«Для будь-якого натурального числа х, справжнюється нерівність х + 1 > х» - (і).

, Р(х) – (і).

«Невірно, що для будь-якого натурального числа х, справжнюється нерівність

х + 1 > х» - (х).

2) Квантор загальності (існування) заміняється квантором існування (загальності), а речення після квантора заміняється його запереченням.

Приклад:

«Існує таке натуральне число, що справжнюється нерівність х + 1 < х» - (х).

, Р(х) – (х).

Отже, слова «всі», «деякі» тощо називаються кванторами. Слово «квантор» латинського походження і означає «скільки», тобто квантор показує, про скільки об’єктів (про всі чи про деякі) іде мова у даному реченні.

Розрізняють квантори загальності та існування. Квантори загальності позначають знаком (перевернута перша буква англійського слова All – всі), а квантори існування знаком (перевернута перша буква англійського слова Exists – існує).

Квантори загальності ( )	Квантори існування ( )
всі кожен будь-який довільний	існує хоч би один деякі знайдеться

Форму висловлення з предикатом мають багато математичних речень, наприклад, «всі ромби є паралелограмами»; «деякі непарні числа діляться на 5»; «сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 180°».

ІІІ. Заключна частина

Загальний висновок

Логіка – наука про закони мислення. Зародження логіки можна віднести до 6 ст. до н.е. (Фалес, Парменід, Піфагор). Загальні принципи логічних міркувань розвинув Платон. Основоположником логіки як цілісної науки є Арістотель.

Математична логіка є наукою про закони математичного мислення. Предметом математичної логіки є математичні теорії в цілому, які вивчаються за допомогою логіко-математичних мов. При цьому в першу чергу цікавляться питаннями несуперечливості математичних теорій, їх розв’язності та повноти. Творцем формальної логіки є Арістотель, а першу завершену систему математичної логіки на базі строгої логіко-математичної мови – алгебру логіки, – запропонував

Дж.Буль (1815-1864). Математична логіка – різновид формальної логіки, тобто науки, що вивчає умовиводи з погляду їхньої формальної будівлі.

Основним поняттям у математичній логіці є висловлення. Висловлення поділяють на прості (елементарні) та складені. Значення істинності простих висловлень визначають за змістом, спираючись на відомі знання. Щоб встановити значення істинності складених висловлень, треба знати їх логічну структуру та зміст операцій над висловленнями. За допомогою простих висловлень можна складати більш складні, з’єднуючи прості висловлення сполучниками «і», «чи», «або».

Запитання для узагальнення студентам

• Що називається висловленням? Наведіть приклади висловлень, встановіть їх значення істинності.

• Дайте означення простих і складених висловлень, предиката. Наведіть власні приклади.

• Що називається кон’юнкцією висловлення? Побудуйте таблицю істинності.

• Що називається диз’юнкцією висловлення? Побудуйте таблицю істинності.

• Дайте означення заперечення висловлення. Поясність два способи побудови заперечення висловлення, наведіть приклади.

• Дайте означення імплікації висловлення, побудуйте таблицю істинності.

• Що називається еквіваленцією висловлень? Побудуйте таблицю істинності, наведіть приклади висловлень, що мають структуру еквіваленції.

• Що називається предикатом?

• Які бувають предикати?

• Що називається квантором?

• Перелічіть квантори загальності і існування, поясніть встановлення істинності і хибності висловлень з кванторами.

Повідомлення домашнього завдання