3. Отношения и пропорции

• Частное двух чисел называется отношением этих чисел, которое показывает во сколько раз первое число больше второго, или какую часть первое число составляет от второго.

• Равенство двух отношений называется пропорцией.

В пропорции различают крайние и средние члены.

• 8 и 5 называют крайними членами.

• 4 и 10 - средние члены.

• В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.

• Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них другая увеличивается (уменьшается ) во столько же раз.

• Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Задача Из лука сделано 50 выстрелов. 5 стрел пролетело мимо мишени. Определите процент попадания.

Посчитаем, сколько стрел попало в цель. 50 - 5 = 45 (стрел) - попало в цель.

Д алее для решения задачи составим таблицу, куда занесём все данные. Запомните, что напротив 100% в таблице обычно пишется общее количество чего-либо. Неизвестные проценты обозначим буквой "x".

	Стрелы	Проценты
Всего выпущено	50	100 %
Попало в цель	45	x %

Ответ: 90% - процент попадания в мишень

4. Положительные и отрицательные числа

Чтобы сложить числа разного знака надо из большего модуля вычесть меньший модуль; перед полученной разностью поставить знак числа, имеющего больший модуль.

Примеры вычитания отрицательных и положительных чисел.

• - 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7

• - 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1

• 5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8

Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо перемножить модули чисел; перед полученным произведением поставить знак "-".

Примеры умножения отрицательных и положительных чисел.

• (- 0,3) • 0,5 = - 1,5

• 1,2 • (- 7) = - 8,4

Чтобы разделить два числа с одинаковыми знаками, надо модуль делимого разделить на модуль делителя; перед результатом поставить знак "+".

Примеры деления чисел с одинаковыми знаками:

• (- 9) : (- 3) = + 3

• 6 : 3 = 2

Чтобы разделить два числа с разными знаками, надо модуль делимого разделить на модуль делителя; перед результатом поставить знак "-".

Примеры деления чисел с разными знаками:

• (- 5) : 2 = - 2,5

• 28 : (- 2) = - 14

5. Решение уравнений и систем уравнений

Уравнение вида ax=b, где x- переменная, a и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Пример, 4(x+7)= 3 - x

4x + 28= 3 – x

4x+x= 3 -28

5x = -25

x = -25:5

x= -5

Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ax+by=c, где x и y – переменные, a, b и c - некоторые числа.

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.

Пример,

выразим из второго уравнения y=3x+9, получим

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Находим дискриминант D = b² − 4ac.

• Если D < 0, корней нет;

• Если D = 0, есть ровно один корень;

• Если D > 0, корней будет два.

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Пример:

Решить квадратные уравнения:

1. x² − 2x − 3 = 0;

2. 15 − 2x − x² = 0;

3. x² + 12x + 36 = 0.

Решение:

Первое уравнение: x² − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3; D = (−2)² − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение: 15 − 2x − x² = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15; D = (−2)² − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их:

Наконец, третье уравнение: x² + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36; D = 12² − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

Ответ: 1) x₁ = 3; x₂ = -1; 2) x₁ = −5; x₂ = 3; 3) x = −6.

Решим дробное рациональное уравнение

x – 3     1        x + 5 —— + — = ———. x – 5     x       x(x – 5)

Решение: Находим общий знаменатель. Это x(x – 5). Итак:

 x² – 3х         x – 5            x + 5 ———   +  ———    =  ———  x(x – 5)      x(x – 5)         x(x – 5)

Теперь снова освобождаемся от знаменателя, поскольку он одинаковый для всех выражений. Сводим подобные члены, приравниваем уравнение к нулю и получаем квадратное уравнение:

x² – 3x + x – 5 = x + 5

x² – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x² – 3x – 10 = 0.

Решив квадратное уравнение, найдем его корни: –2 и 5. Проверим, являются ли эти числа корнями исходного уравнения. При  x = –2 общий знаменатель x(x – 5) не обращается в нуль. Значит, –2 является корнем исходного уравнения. При x = 5 общий знаменатель обращается в нуль, и два выражения из трех теряют смысл. Значит, число 5 не является корнем исходного уравнения.

Ответ: x = –2