Степень и ее свойства
Степенью числа "a" с натуральным показателем "n" бóльшим 1, называется произведение "n" одинаковых множителей, каждый из которых равен числу "a".
Запись an читается так: "а в степени n" или "n-ая степень числа a".
Степенью числа "а" с показателем n = 1 является само это число: a1 = a
Любое число в нулевой степени равно единице. a0 = 1
Ноль в любой натуральной степени равен нулю. 0n = 0
Единица в любой степени равна 1. 1n = 1
Пример. Возвести в степень.
53 = 5 • 5 • 5 = 125
2.52 = 2.5 • 2.5 = 6.25
При возведении в степень положительного числа получается положительное число.
При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.
Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.
Отрицательное число, возведённое в чётную степень, есть число положительное.
Отрицательное число, возведённое в нечётную степень, - число отрицательное.
Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, то есть: a2 ≥ 0 при любом a.
2 • (- 3)2 = 2 • (- 3) • (- 3) = 2 • 9 = 18
- 5 • (- 2)3 = - 5 • (- 8) = 40
Свойство № 1 Произведение степеней При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются. am • an = am + n, где a - любое число, а m, n - любые натуральные числа.
Свойство № 2 Частное степеней При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя. am • an = am - n, где a - любое число, не равное нулю, а m, n - любые натуральные числа такие, что m > n.
Свойство № 3 Возведение степени в степень При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются. (an)m = an • m, где a - любое число, а m, n - любые натуральные числа.
Свойства 4 Степень произведения При возведении степени в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель и результаты перемножаются. (a • b)n = an • bn, где a, b - любые рациональные числа; n - любое натуральное число.
Свойства 5 Степень частного (дроби) Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй. (a : b)n = an : bn, где a, b - любые рациональные числа, b ≠ 0, n - любое натуральное число.
Арифметический квадратный корень. Свойства, правила, действия
Арифметический квадратный корень - это действие обратное, возведению в квадрат.
Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число b, квадрат которого равен а: √а = b ( при a ≥ 0, b ≥ 0, b2 = a).
Пример: √9 = 3 (9 > 0, 3 > 0, 32 = 9)
При а < 0 выражение √a не имеет смысла.
Пример: √-25 – невозможно извлечь корень: 52 = 25 и -52 = 25 (а не -25)
При любом а, при котором выражение √a имеет смысл, верно равенство (√a)2 = |а|.
Пример: (√25)2 = 52 = 25
√-52 = √25 = 5
Свойства арифметического квадратного корня:
Преобразование выражений с квадратными корнями.
