§ 2. Математические предложения 5. Элементарные и составные предложения

Познавая окружающий мир, человек устанавливает различные взаимосвязи между объектами, между объектами и их свойствами и др. В языке эти связи выражаются с помощью предложений,

15

которые образуются из понятий. Например: «В равностороннем треугольнике все углы равны», «Число 28 делится на 7».

Каждое математическое предложение характеризуется содер­жанием и логической структурой. Наше внимание будет обращено в основном на структуру предложений.

В математике различают элементарные и составные предложе­ния. Предложение «Число 28 делится на 7» элементарное. Со­ставными предложениями являются, например, следующие:

1. число 28 четное и делится на 7;

2. число х меньше или равно 8;

3. если треугольник равнобедренный, то углы в нем при осно­вании равны;

4. число 14 не делится на 4.

Составные предложения образуются из элементарных с по­мощью слов «и», «или», частицы «не» и некоторых других. Эти слова в математике называют логическими связками.

Выявить логическую структуру составного предложения — значит установить:

1) из каких элементарных предложений образовано данное составное предложение;

2) с помощью каких логических связок оно образовано. Раскроем, например, логическую структуру предложения

«Число 28 четное и делится на 7». Оно состоит из двух элемен­тарных предложений: предложения А — «Число 28 четное» и предложения В — «Число 28 делится на 7». Соединены они в одно составное предложение с помощью логической связки «и». Исполь­зуя введенные обозначения элементарных предложений, можно сказать, что данное составное предложение имеет логическую структуру (форму) «Л и В».

Второе предложение устроено иначе. Если обозначить через А предложение «Число х меньше 8», а через В предложение «Число х равно 8», то тогда о предложении «Число х меньше или равно 8» можно сказать, что оно имеет структуру «А или В».

Предложение «Если треугольник равнобедренный, то углы в нем при основании равны» имеет структуру «Если А, то В», где буквой А обозначено предложение «Треугольник равнобедрен­ный», а буквой В — предложение «Углы в треугольнике при основании равны».

Чтобы раскрыть структуру последнего предложения, обозна­чим через А предложение «Число 14 делится на 4». Тогда про предложение «Число 14 не делится на 4» можно сказать, что оно имеет форму «Не А» или «Неверно, что А».

Упражнения

1. Какие из следующих предложений элементарные, а какие составные: 1) в равнобедренном треугольнике ABC (рис. 7) бис­сектриса BD является медианой и высотой; 2) в прямоугольном

16

треугольнике ABD квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов; 3) площадь треуголь­ника ABC равна половине произведения основа­ния АС на высоту BD\ 4) если треугольник ABC равнобедренный, то углы в нем при основа­нии равны; 5) в треугольнике ABD катет BD длин­нее катета AD или равен ему?

2. Раскройте логическую структуру каждо­го высказывания: 1) число 12 четное и делит­ся на 6; 2) если углы вертикальные, то они равны; 3) число д/3 является рациональным или иррациональным; 4) треугольник ABC не является равносторонним; 5) если число це­лое и положительное, то оно натуральное.

3. Завершите предложения и раскройте их логическую струк­туру: 1) средняя линия треугольника параллельна основанию и ...; 2) если а-Ь = 0, то а = 0 или ... .

4. Приведите примеры математических предложений, имею­щих структуру: 1) Л и В; 2) Л или В; 3) если Л, то В.

6. Высказывания. Смысл спав «и», «или», «не»

Среди суждений, устанавливающих различные отношения между математическими понятиями, выделяют высказывания и высказывательные формы.

Высказыванием называется предложение, относительно кото­рого имеет смысл вопрос, истинно оно или ложно.

Например, предложение «Число 6 четное» есть истинное вы­сказывание, а предложение «2 + 4 = 3²» — ложное высказывание.

Вообще каждому высказыванию приписывают одно из двух значений: И (истина), если оно истинно, и Л (ложь), если оно ложно. Значения И и Л называют значениями истинности высказывания. Если высказывание элементарное, то его значение истинности опре­деляют по содержанию, опираясь на известные знания.

А как быть, если высказывание составное? Как определить значение истинности такого высказывания? Здесь на помощь приходит форма высказывания.

Считают, что высказывание вида «Л и В» истинно, если истин­ны оба высказывания Л и В. Если же хотя бы одно из них ложно, то высказывание «Л и В» ложно.

Пример. Установим, истинно или ложно высказывание:

1) число 102 четное и делится на 9; 2) 3<6<7.

В случае 1 составное высказывание имеет форму «Л и В», где Л — «Число 102 четное», а В — «Число 102 делится на 9». Легко видеть, что высказывание Л истинное, а высказывание В ложное (число 102 не делится на 9, так как на 9 не делится сум­ ма цифр в записи этого числа). Следовательно, и все предложение ложное.

Такие высказывательные формы называют одноместными. Пред­ложение х + (/ = 8, содержащее две переменные, есть двухместная высказывательная форма.

Итак, высказывательная форма — это предложение с одной или несколькими переменными, которое обращается в высказы­вание при подстановке в него конкретных значений переменных.

Понятие высказывательной формы можно рассматривать как обобщение известных понятий: уравнения с одной, двумя и т. д. переменными, неравенства с переменными и др.

Относительно высказывательной формы возникает в'опрос: при каких значениях переменных эта форма обращается в истинное высказывание? Если высказывательная форма — уравнение (или неравенство с переменной), то, чтобы дать ответ на этот вопрос, надо уравнение (или неравенство) решить.

Пример. Найдем, при каком значении переменной х выска­зывательная форма Зх — 4 = 5 обращается в истинное высказы­вание.

Решим уравнение Зх — 4 = 5. Имеем 3* = 9, х = 3. Следовательно, данное уравнение обращается в истинное вы­сказывание 3-3 — 4 = 5 при х = 3.

Так же как и высказывания, высказывательные формы бывают элементарными и составными. Составные образуются из элемен­тарных при помощи логических связок «и», «или», частицы «не».

Упражнения

1. Среди следующих предложений укажите высказывательные формы: 1) х² — 5х + 4 = 0; 2) 2х — 3<7; 3) 2-4 —3<7; 4) любое число является решением неравенства 2х — 3<7; 5) некоторые числа являются решением неравенства 2х — 3<7.

2. Из высказывательной формы х² — 5х = 0 получите 3 выска­зывания. При каких значениях х данная высказывательная фор­ма обращается в истинное высказывание?

3. Найдите, при каких значениях переменной у следующие высказывательные формы обращаются в истинные высказыва­ния: 1) 2у — 5 = 7 — у; 2) 2у — 3<7.

4. Даны числа: 21, 52, 409, 248, 30, 2094, 322, 22, 371, 142, 2, 222, 14, 20.

1) Выпишите все числа, в записи которых две цифры и есть цифра 2. 2) Выпишите все числа, в записи которых две цифры или есть цифра 2.