102. Прямая пропорциональность

Если / — время движения пешехода (в часах), s — пройденный им путь (в километрах) и он движется равномерно со скоростью 4 км/ч, то каждому значению t соответствует единственное зна­чение s, получаемое по формуле s = 4t. Следовательно, формула s = 4/ задает функцию.

Рассмотрим еще один пример. Если цена одного пакета молока 16 к., то стоимость у (в копейках) х пакетов может быть подсчи­тана так: у=\6х. Так как каждому значению х соответствует единственное значение у, то формула у=\6х задает функцию.

В приведенных примерах мы имели дело с функцией, которую называют прямой пропорциональностью.

Определение. Прямой пропорциональностью называется функция, которая может быть задана при помощи формулы вида y = kx, где х — независимая переменная, а А — не равное нулю действительное число.

Число k в формуле y = kx называют коэффициентом пропорци­ональности; о переменной у говорят, что она пропорциональна переменной х.

Областью определения функции y = kx является множество действительных чисел.

Прямая пропорциональность — частный случай линейной функ­ции y = kx-\-b, получаемой при 6 = 0. Поэтому:

1. графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат;

2. при k>§ функция y = kx возрастает на всей области опре­деления, а при &<0 убывает.

Например, прямая пропорциональность у = 2х является функ­цией, возрастающей на множестве действительных чисел: если зна­чения х растут, то растут и значения функции (рис. 149). Функ­ция у——Зх убывающая на множестве действительных чисел: если значения х растут, то значения функции уменьшаются (рис. 150).

Однако прямая пропорциональность обладает и свойством, кото­рого нет у линейной функции: если функция / — прямая пропор­циональность и (х\, у\), (х₂, уг) — пары соответственных значений х

и у, причем х₂ф0, то —=-ML. Другими словами, если y=kx,

то отношение двух значений переменной х равно отношению соответственных значений у.

Действительно, если / — прямая пропорциональность, то она может быть задана формулой y = kx, и тогда для двух различных

272

значений х\ и х₂ имеем, что y\ = kx\ и y₂ — kx₂. Так как х₂ф0 и fe#0,

то и₂ф0, следовательно, ^i-=—.

Если значениями переменных хну являются положительные числа, то доказанное свойство прямой пропорциональности можно сформулировать так:

С увеличением (уменьшением) значений переменной х в не­сколько раз соответствующее значение переменной у увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Прямая пропорциональность в начальных классах специально не изучается, но при решении текстовых задач учащиеся встречаются с различными зависимостями между величинами, в том числе и с пря­мой пропорциональностью. Приведем примеры таких задач.

1) Метр полотна стоит 4 р. Сколько стоят 2 м полотна? 3 м? 5 м? 8 м?

В этой задаче рассматривается зависимость стоимости от коли­чества купленного полотна, цена 1 м полотна постоянна. Так как эта зависимость может быть выражена формулой у = 4х, где х — число метров купленного полотна, а у — его стоимость, то име­ем прямую пропорциональность. Коэффициент пропорциональнос­ти 4 задан в условии задачи, так же как и значения, которые прини­мает х.

2) Из куска ткани длиной 24 м в мастерской сшили 8 оди­ наковых костюмов. Сколько потребуется ткани на 20 таких же костюмов?

В задаче рассматривается зависимость расхода ткани от ко­личества костюмов.

Эта зависимость прямо пропорциональная, поскольку может быть задана формулой у = 3х, где 3 — количество метров ткани для одного костюма, х — число сшитых костюмов, у — количество ткани, израсходованной на эти костюмы. Коэффициент пропорцио­нальности находят, зная соответственные значения переменных х и у: 24:8 = 3 (м).

273

У\фО>, то, следовательно, i!l = i-_:±.₌₌^ЈL ₌ ЈL. Итак, M2- = h-.

Если значениями переменных хну являются положительные числа, то доказанное свойство можно сформулировать так:

С увеличением (уменьшением) значений переменной х в не­сколько раз соответствующее значение переменной у уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

С обратной пропорциональностью учащиеся начальных классов встречаются, главным образом, при решении задач, но специально эту зависимость не изучают.

Приведем примеры таких задач.

1) Надо упаковать в пакеты 24 кг муки. Какова будет масса 1 пакета, если эту муку упаковать в 3 одинаковых пакета? в 4 па­ кета? в 6 пакетов? в 8 пакетов?

В задаче рассматриваются три величины: масса всей муки, количество пакетов и масса муки в одном пакете. Первая вели­чина принимает одно и то же значение 24. Две другие находятся в обратно пропорциональной зависимости, так как эту зависимость

24

можно выразить формулой у =—, где х — количество пакетов,

а у — масса муки в одном пакете. Зная это, легко найти, что если муку упаковать в 3 пакета, то в одном пакете будет 24:3 = 8 (кг) муки; если в 4 пакета, то в одном пакете будет 24:4 = 6 (кг) муки и т. д.

2) С участка собрали 4 мешка картофеля, по 50 кг в каждом. Этот картофель разложили для хранения в ящики, по 20 кг в каж­ дый. Сколько ящиков потребовалось?

В задаче рассматривается зависимость между всей массой

картофеля, массой картофеля в некоторой емкости и количеством

этих емкостей. Первая величина постоянна, ее значение находится

умножением: 50-4 = 200 (кг), а две другие находятся в обратно

пропорциональной зависимости, которая может быть задана форму-

200 лои у = , где х — масса одной емкости, у — количество этих

емкостей.

12

2. Постройте график функции у=— при условии, что ее область

определения:

1. множество действительных чисел;

2. (0, оо);

3. [1, 6]; 4) [1, 2, 3, 4, 6, 12}.

3. Выясните, какая зависимость существует между величинами, данными в задаче, и решите ее:

1. С опытной грядки сняли 24 кг помидоров. Сколько надо паке­тов, чтобы упаковать эти помидоры по 1 кг в пакет? по 3 кг? по 4 кг? по 6 кг? по 8 кг? по Ь кг?

2. Велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч и был в пути 2 ч. Сколько времени потребуется пешеходу, чтобы пройти это расстояние со скоростью 4 км/ч?

3. Два столяра отремонтировали стульев поровну. Первый столяр работал 6 дней, ремонтируя по 10 стульев в день, а второй работал 5 дней. По скольку стульев в день ремонтировал второй столяр?

4. Площадь прямоугольника с основанием х см равна 8 см². Ка­кова высота у этого прямоугольника? Покажите, что зависимость между основанием и высотой прямоугольника при постоянной пло­щади является функцией, и постройте ее график при условии, что основание прямоугольника не превышает 0,5 см.

5. Задание «Заполни пропуск так, чтобы запись 24:3>24:| | была верной» учащийся выполнил так:

Чтобы частное 24 и 3 было больше частного чисел 24 и неизвестного

числа fj, надо, чтобы второй делитель был меньше первого, напри­мер 2.

Какое свойство и какой функции неявно использовал учащийся?