§ 13. Длина, площадь, масса, время 108. Длина отрезка и ее измерение

Определение. Длиной отрезка называется положительная величина, определенная для каждого отрезка так, что:

1. Равные отрезки имеют равные длины;

1. Если отрезок состоит из конечного числа отрезков, то его длина равна сумме длин этих отрезков.

Рассмотрим процесс измерения длин отрезков. Из множества отрезков выбирают какой-нибудь отрезок е и принимают его за единицу длины. На отрезке а от одного из его концов откладывают последовательно отрезки, равные е, до тех пор, пока это возможно. Если отрезки, равные е, отложились п раз и конец последнего совпал с концом отрезка а, то говорят, что значение длины отрезка а есть натуральное число п, и пишут: а = пе. Если же отрезки, равные е, отложились п раз и остался еще остаток, меньший е, то на нем откла­дывают отрезки равные е_х ——е. Если они отложились точно п\ раз,

то тогда а = п, п\е и значение длины отрезка а есть конечная де­сятичная дробь. Если же отрезок е\ отложился п\ раз и остался еще остаток, меньший е\, то на нем откладывают отрезки, равные

е₂=—— е. Если представить этот процесс бесконечно продолжен­ным, то получим, что значение длины отрезка а есть бесконечная десятичная дробь.

287

другие действия над длинами, неявно используют теоретические по­ложения, изложенные в данном пункте.

Так, выполняя задание «Начерти два отрезка: первый длиной 1 дм, а второй на 1 см длиннее», учащиеся неявно пользуются тем, что для каждого положительного числа есть отрезок, длина которого выражается этим числом. Отрезков длиной 1 дм существует бесконечное множество (поэтому каждый ученик и может начертить «свой» отрезок), но все они равны между собой.

Второй отрезок, который на 1 см длиннее первого, можно пост­роить по-разному. Например, на луче ОА можно сначала отложить отрезок ОБ длиной 1 дм, а затем от точки В отложить отрезок ВА\, длина которого 1 см (рис. 156). А можно сначала найти сумму 1 дм-f-l см = 10 см+1 см=(10+1) см=11 см, а затем построить отрезок длиной 11 см.

Выполнение задания «Начерти два отрезка: длина первого 6 см, а второй в 2 раза длиннее. Чему равна длина второго отрезка?» связано с умножением длины на число. Задание может быть выпол­нено различными способами.

/ способ. Строят отрезок длиной 6 см, а затем на луче ОА по­следовательно откладывают 2 равных отрезка длиной 6 см (рис. 157). Полученный отрезок ОА является искомым, его длина равна 2-6 см = 12 см.

// способ. Находят длину второго отрезка: 2-6 см =(2-6) см = = 12 см, а затем строят 2 отрезка, один длиной 6 см, а другой длиной 12 см.

Задание «Отрезок длиной 12 см разделить на 2 равные части» предполагает умение делить длину на натуральное число. Мы не выделили такой операции, поскольку деление длины на натуральное

число п равносильно умножению ее на дробь — . В связи с этим

^п 1

деление 12 см на 2 равносильно умножению 12 см на •£-:

~Л2 см =(i-. 12) см = (12:2) см.

Вообще деление длины на натуральное число сводится к делению численного ее значения на данное натуральное число.

Упражнения

1. Известно, что расстояние от пункта А до пункта В равно 6 км, от В до С 8 км. Чему может быть равно расстояние от А до С?

290

2. Существуют ли три точки А, В и С, такие, что

1. АС=15 см, ЛВ = 8 см, ВС = 7 см;

2. ЛС = 8 см, ЛВ = 25 см, ВС = 40 см;

3. ЛС = 24 см, ЛВ = 30 см, ВС = 40 см?

3. На прямой отметьте точки А, В, С и D так, чтобы расстояние от Л до В равнялось 2 см, расстояние от В до С — 1,5 см, от С до D — 1 см. Найдите длины отрезков АВ, AD, ВС, CD, если за единичный отрезок принять:

1) отрезок CD; 2) отрезок АВ; 3) отрезок ВС; 4) отрезок AD.

4. Расстояние от дома до школы 400 м, а расстояние от дома до вокзала 0,9 км. Во сколько раз расстояние от дома до вокзала больше расстояния от дома до школы?

5. Длину стола измеряли сначала в сантиметрах, потом в деци­метрах. В первом случае получили число на 108 большее, чем во втором. Чему равна длина стола?

6. Численное значение длины отрезка, измеренной при помощи единицы е\, равно 6, а измеренной при помощи единицы е₂ — равно 4. В каком отношении находятся между собой единицы длины

е\ и £2?

7. Постройте отрезок, длина которого 4,6 е. Каким будет числен­ ное значение длины этого отрезка, если единицу длины е:

1) увеличить в 3 раза; 2) уменьшить в 1,5 раза?

8. Какие действия над длинами будут выполнять учащиеся на­ чальных классов при решении следующих задач:

1. Начерти квадрат со стороной 5 см. Найди сумму длин всех сторон этого квадрата.

2. Сумма длин всех сторон квадрата 28 см. Чему равна длина стороны этого квадрата?

3. На детскую простыню идет 2 м полотна, а на пододеяльник — в 2 раза больше, чем на простыню. Сколько полотна пойдет на 8 комплектов, состоящих из одной простыни и одного пододеяльника?

4. В одном куске было 24 м ткани, а в другом — на 8 м меньше. Из всей этой ткани сшили несколько одинаковых платьев, расходуя на каждое по 4 м ткани. Сколько сшили платьев?

5. За три дня турист проехал 3220 км. В первый день он проехал четвертую часть всего пути, во второй день 1920 км, а в третий день остальной путь. Сколько километров проехал турист в третий день?

6. Отрезок длиной 6 см увеличили в несколько раз и получили отрезок длиной 18_#см. Во сколько раз увеличили отрезок?