1. Теорема Остроградського-Гауса

План

1. Просторовий (тілесний) кут.

2. Потік вектора напруженості.

3. Теорема Остроградського-Гауса.

1. Просторовий (тілесний) кут

Р озглянемо сферу й конус, вершина якого співпадає з центром сфери О, а твірна конуса більше радіуса сфери (див. Рис.1.1.). Під тілесним (просторовим) кутом розуміють частину простору, обмежену бічною поверхнею конуса. Мірою тілесного кута є відношення поверхні сфери , вирізаної ним до квадрата радіуса r

.

Т ілесний кут має одиницею вимірювання — стерадіан (стрд). Якщо вирізана конусом поверхня сфери дорівнює , то тілесний кут дорівнює 1 стрд. Просторовий кут, що спирається на всю поверхню сфери дорівнює стрд.

2. Потік вектора напруженості

Нехай в електростатичному полі є елементарна поверхня з нормаллю , яку пронизує силова лінія напруженості (див. Рис.1.2.). Елементарний потік Ф вектора напруженості через цю поверхню визначається так

,

де кут між та нормаллю до dS , .

Якщо напруженість створена точковим зарядом dq, то її величина дорівнює і можна записати у вигляді

,

В тілесний кут, що спирається на поверхню dS і з урахуванням цього запишеться так

.

Потік вектора напруженості Е, створеного точковим зарядом dq для довільної поверхні S записується у вигляді

,

де тілесний кут, що спирається на поверхню S.

3 . Теорема Остроградського-Гауса

Нехай у середовищі з діелектричною проникливістю є система з М точкових та N макроскопічних електричних зарядів (див Рис. 1.3.). Оточимо сукупність зарядів та в об'ємі довільною замкненою поверхнею . Величина оточеного заряду може бути записана як величина розподіленого в об'ємі заряду

з густиною заряду й елементарним зарядом .

Теорема Остроградського-Гауса стверджує, що потік вектора напруженості електростатичного поля у вакуумі через довільну замкнену поверхню дорівнює

.

Дійсно, використовуючи те, що поверхня замкнена і , запишемо у вигляді

.

Інтеграл і

.

Інтегруючи у dq по об'єму і, підставляючи вираз для , одержимо

і остаточно

,

що й треба було довести.

Зміст самостійної роботи:

Запишіть в чому полягає фізичний зміст теореми Остроградського-Гауса.

2. Однорідне електричне поле. Еквіпотенціальні поверхні

Якщо взяти дві рівні та паралельно розташовані металеві пластини з однаковими , але протилежними за знаком зарядами, то вони утворять простіший вигляд електричного поля, яке назвали однорідним. В однорідному полі силові лінії паралельні між собою та перпендикулярні до пластин, а щільність ліній всюди однакова. Лише на краях пластин лінії скривлені й мають іншу щільність. Ми будемо називати поле однорідним, якщо у всіх точках його вектори напруженості однакові за величиною та напрямком.

Чим густіше розміщенні силові лінії однорідного поля, тим більше напруженість у кожній його точці.

Рис. 2.1.-Електричне поле, між двома

зарядженими плоскими пластинами

Площина, усі точки якої мають однаковий потенціал, називається рівнопотенціальною чи еквіпотенціальною. Вектор напруженості ( а також силові лінії ) завжди перпендикулярні до еквіпотенціальної площини. Еквіпотенціальні поверхні повторюють конфігурацію тіла.

Еквіпотенціальні поверхні проводяться так, щоб напруга між всякими суміжними поверхнями була однакова. При збільшенні відстані від центру шару та при зменшенні напруженості поля щільність електричних ліній зменшується обернено пропорційно квадрату відстані ( тобто Е зменшується обернено пропорційно квадрату відстані ). Разом з цим зростають відстані між сусідніми еквіпотенціальними поверхнями, так як у більш слабкому полі потребується більша відстань для зміни потенціалу на одну і ту ж величину.

Зміст самостійної роботи:

Опишіть властивості неоднорідного магнітного поля.