2.2. Уравнение линейной регрессии
Обычно признак Y рассматривается как функция многих аргументов — x1, x2, x3, ...— и может быть записана в виде:
y = a + bx1 + cx2 + dx3 + ... ,
где: а, b, с и d — параметры уравнения, определяющие соотношение между аргументами и функцией. В практике учитываются не все, а лишь некоторые аргументы, в простейшем случае, как при описании линейной регрессии, — всего один:
y = a + bx (2.1)
В этом уравнении параметр а — свободный член; графически он представляет отрезок ординаты (у) в системе прямоугольных координат. Параметр b называется коэффициентом регрессии. С точки зрения аналитической геометрии b— угловой коэффициент, определяющий наклон линии регрессии по отношению к осям, координат. В области регрессионного анализа этот параметр показывает, насколько в среднем величина одного признака (Y) изменяется при изменении на единицу меры другого корреляционно связанного с Y признака X. Наглядное представление об этом параметре и о положении линий регрессии Y по Х и X по Y в системе прямоугольных координат дает рисунок 2.1.
Рис. 2.1. Схема линий регрессии Y по Х и Х по Y в системе прямоугольных координат.
Линии регрессии, как показано, пересекаются
в точке 0 (
),
соответствующей средним арифметическим
значениям корреляционно связанных друг
с другом признаков Y и X. Линия
АВ, проходящая через эту точку, изображает
полную (функциональную) зависимость
между переменными вели-чинами Y и
X, когда коэффициент корреляции r
= 1. Чем сильнее связь между Y и X,
тем ближе линии регрессии к АВ, и,
наоборот, чем слабее связь между
варьирующими признаками, тем более
удаленными оказываются линии регрессии
от АВ. При отсутствии связи между
признаками, когда r = 0, линии регрессии
оказываются под прямым углом (90°) по
отношению друг к другу.
Уравнение регрессии тем лучше описывает зависимость, чем меньше рассеяние диаграммы, чем больше теснота взаимосвязи. Уравнение прямой линии пригодно для описания только линейных зависимостей. В случае не-линейных зависимостей математическая запись может отображаться уравнениями параболы, гиперболы и др.
Необходимо также сделать одно важное замечание о значении показателей, характеризующих взаимосвязь признаков (коэффициентов корреляции, регрессии и т. п.). Все они дают лишь количественную меру связи, но ничего не говорят о причинах зависимости. Определить эти причины — дело самого исследователя.
2.3. Коэффициенты уравнения парной линейной регрессии
Как уже было определено выше, в случае линейной зависимости уравнение регрессии является уравнением прямой линии. Таких уравнений два:
Y = a1 + by/xX — прямое
и X = a2 + bx/yY — обратное, (2.2)
где: a и b – коэффициенты, или параметры, которые надлежит определить.
Значение коэффициентов регрессии вычисляется по формуле:
и
.
(2.3)
Коэффициенты регрессии b имеют размерность, равную отношению размерностей изучаемых показателей X и Y, и тот же знак, что и коэффициент корреляции.
Коэффициенты а определяются по формуле:
и
.
(2.4)
Чтобы вычислить этот коэффициенты, надо просто в уравнения регрессии подставить средние значения коррелируемых переменных.
Для оценки качества уравнений регрессии вычисляются остаточные средние квадратические отклонения (или абсолютные погрешности уравнений) по формуле:
и
.
(2.5)
Эти оценки абсолютны и, следовательно, не могут быть сравнимы друг с другом. Поэтому вводят оценки относительной погрешности уравнений, которые выражаются в процентах и служат для точности предсказания (прогнозирования) результатов одного показателя по заранее известным значениям другого. Относительные погрешности уравнений регрессии определяются по формуле:
и
.
(2.6)
Значение этой оценки, если r = , равно нулю и, если r = 0, максимально. Остаточное среднее квадратическое отклонение характеризует колеблемость Y относительно линии регрессии по Х в прямом уравнении регрессии и, наоборот, в обратном случае. А, следовательно, чем меньше вели-чина относительной погрешности уравнения регрессии, тем точнее будет оно осуществлять прогноз значений одного показателя по заранее известным значениям другого.