2. Зв’язок лінійних та кутових параметрів руху. Кінематичні рівняння обертального руху.

Лінійна швидкість точки (рис.6.1)

(19)

Тангенціальна складова прискорення

(20)

Нормальна складова прискорення

(21)

Таким чином, зв’язок між лінійними та кутовими величинами наступний

Кінематичні рівняння обертального рівнозмінного руху мають вигляд

ЛЕКЦІЯ 2

Динаміка. Пряма та зворотна задачі динаміки.

Динаміка є основним розділом механіки. В основі її лежать три закони Ньютона. Ці закони відіграють значну роль у механіці і є узагальненням величезного досвіду, набутого людством. Їх потрібно розглядати як систему взаємо зв’язаних законів і на досліді перевіряти всю таку систему в цілому. Із законів Ньютона з урахуванням основних рівнянь кінематики випливають усі рівняння і теореми , необхідні для розв’язування задач класичної механіки.

Основна (пряма) задача динаміки полягає в тому, щоб за відомими силами, які діють на тіло, визначити закон його руху - координати і швидкість у будь-який момент часу.

Зворотна задача динаміки – на основі знань про рух тіла визначають сили, які діють на нього.

Динамічні характеристики поступального руху (сила, маса та імпульс тіла)

Із досліду відомо, що при однаковій дії різні тіла неоднаково змінюють швидкість свого руху – отримують різне прискорення. Тобто прискорення залежить не тільки від величини дії, але і від властивості самого тіла, яку називають масою. Маса (m)– це скалярна ФВ, яка є мірою інертності тіла. Інертність – це властивість тіл зберігати стан спокою або рівномірного прямолініного руху. Це інертна маса. Маса тіл характеризує також їх здатність взаємодіяти згідно із законом всесвітнього тяжіння. У цьому випадку говорять про гравітаційну масу. Зараз з великим ступенем точності встановлено рівність цих мас при умові , що швидкість взаємодіючих тіл набагато менша швидкості світла у вакуумі. Маса , адитивна величина. Тобто маса довільного тіла дорівнює сумі мас всіх МТ, на які це тіло можна умовно розділити. В СІ розмірність маси є 1 кг.

Сила - це векторна ФВ, яка є мірою механічної дії на тіло зі сторони інших тіл або полів, в результаті якої тіло отримує прискорення або змінює свою форму і розміри. В кожний момент часу сила характеризується числовим значенням, напрямом у просторі і точкою прикладання. В СІ розмірність сили є 1 Н.

Імпульс тіла (кількість руху) - це векторна ФВ, яка чисельно дорівнює добутку маси тіла на його швидкість. В СІ розмірність маси є 1 кг м/с.

Закони Ньютона

Перший закон Ньютона (закон інерції): будь-яка МТ (тіло) зберігає стан спокою або рівномірного прямолінійного руху доти, доки дія з боку інших тіл не змусить її змінити цей стан.

При F=0, v=соnst або v=0 (1)

Перший закон Ньютона виконується в інерціальних системах відліку.

Інерціальна система відліку – це система, яка перебуває в стані спокою або рухається рівномірно і прямолінійно відносно іншої інерціальної системи

Другий закон Ньютона : прискорення, яке набуває тіло прямо пропорційне силі, яка діє на нього і обернено пропорційне масі цього тіла. Напрям прискорення співпадає з напрямом сили.

(2)

У виразі (2) маса є постійною величиною.

Другий закон Ньютона у загальному вигляді для будь-якої маси

(3)

Швидкість зміни импульсу МТ (тіла) дорівнює силі, яка діє на МТ (тіло).

Другий закон Ньютона також справедливий в лише інерціальних системах.

Третій закон Ньютона: сили взаємодії двох МТ (тіл) в інерціальній системі відліку рівні за модулем і направлені в протилежні сторони (рис.2.1).

(4)

Рис.2.1

Сили і прикладені до різних точок.

Види сил (гравітаційні, тертя, пружності).

В сучасній фізиці розглядаються чотири види взаємодії:

1. Гравітаційна (або взаємодія обумовлена всесвітнім тяжінням);

2. Електромагнітна (здійснюється через електричні та магнітні поля)

3. Сильна або ядерна (забезпечує зв’язок частинок в атомному ядрі)4

4. Слабка (відповідальна за процеси розпаду елементарних частинок).

У класичній механіці розглядаються гравітаційні та електромагнітні, а також пружні сили та сили тертя. Хоча пружні сили та сили тертя визначаються характером взаємодії між молекулами речовини. Сили ж взаємодії між молекулами речовини мають електромагнітне походження. Тому пружні сили та сили тертя за своєю природою є також електромагнітними.

Гравітаційні та електромагнітні сили є фундаментальними, тобто їх не можна звести до інших простіших сил.

Сили тяжіння – описуються законом всесвітнього тяжіння. Дві електрично нейтральні МТ з масами m₁ і m₂ на відстані r притягуються одна до одної з силою

(5)

γ – гравітаційна стала (6,67·10^-11 Н·м²кг²)

Сила пружності. Будь-яке реальне тіло під дією зовнішніх сил, прикладених до нього, деформується. Тобто змінює свої розміри і форму. Якщо після припинення дії сил тіло набуває початкові розміри і форму, деформація називається пружною.

П ружна деформація спостерігається в певних для кожного тіла межах (межа пружності). Розглянемо пружнy деформацію на прикладі пружини довжиною l₀ рис.3.1.

Рис.3.1

При стисненні або розтягу пружини по всій її довжині виникають пружні натяги. Позначимо проекцію пружної сили на вісь х через . Дослід показує, що при невеликих деформаціях пружна сила пропорціональна величині деформації пружини Δх . При цьому проекція пружної сили і координата завжди мають різні знаки.

(6)

k – коефіцієнт жорсткості пружини. Вираз (6) носить назву закон Гука.

Сили тертя – з’являються при переміщенні тіл або їх частин, які дотикаються. Тертя , яке при цьому виникає називають зовнішнім. Тертя між частинами одного й того ж суцільного тіла (рідина, газ) носить назву внутрішнього тертя. Тертя між поверхнями двох ТТ при відсутності змазки між ними називають сухим тертям. Тертя між ТТ і рідиною або газом, а також між шарами таких середовищ називають в’язким або рідким. Сухе тертя поділяється на тертя ковзання і тертя кочення. Сили тертя направлені по дотичній до поверхонь тіл або шарів, які труться, і так, що протидіють відносному зміщенню цих поверхонь або шарів. При сухому терті сила тертя виникає не тільки при ковзанні одної поверхні по іншій, але навіть при намаганні викликати таке ковзання. В цьому випадку сила називається силою тертя спокою. На рис.3.2 тіло 1 притискується до тіла 2 із силою направленою по нормалі. Вона називається силою нормального тиску і може бути обумовленою вагою тіла або іншими причинами. Почнемо переміщати тіло 1, діючи на нього силою . Зрушення 1тіла відбувається, починаючи з деякого значення F=F₀. За другим законом Ньютона це пояснюється дією деякої сили, яка протилежно направлена і урівноважує зовнішню силу. Ця сила називається силою тертя спокою або силою статичного тертя. Сила тертя спокою автоматично приймає значення зовнішньої сили при умові, що не перевищує F₀. За ІІІ з-ном Ньютона на тіло 2 також діє сили тертя спокою

Н

а рис.3.3 показана залежність .

Рис.3.2 Рис.3.3

Закон сухого тертя: максимальна сила тертя спокою, а також сила тертя ковзання не залежать від площі поверхні тіл, які дотикаються і приблизно пропорційні величині сили нормального тиску, що притискує поверхні , котрі труться, одна до одної

(7)

k – коефіцієнт статичного тертя, залежить від матеріалу і стану поверхонь дотику.

Закон збереження імпульсу замкненої механічної системи.

Тіла, що утворюють механічну систему, можуть взаємодіяти як між собою, так із тілами, які не належать даній системі. Тому відповідно сили, які діють на систему поділяють на зовнішні і внутрішні. У випадку, коли зовнішні сили відсутні, система називається замкненою. Для замкнених систем є незмінними три фізичні величини: енергія, імпульс і момент імпульсу тіл. Відповідно до цього в механіці є три закони збереження – закон збереження енергії, закон збереження імпульсу, закон збереження моменту імпульса. Ці закони тісно пов’язані з основними властивстями простору і часу.

Так в основі закону збереження енергії лежить однорідність часу, тобто рівнозначність всіх моментів часу. Рівнозначність полягає в тому , що заміна моменту часу t₁ моментом t₂ без зміни значень координат і швидкостей не змінює механічні властивості системи.

В основі закону збереження імпульсу лежить однорідність простору, а саме: однаковість властивостей простору в усіх його точках. Тобто паралельний перенос замкненої системи із одного місця простору без зміни взаємного розташування і швидкостей МТ (тіл) не змінює механічні властивості системи, якщо при цьому замкненість системи не порушується.

В основі закону збереження моменту імпульса лежить ізотропія простору (однаковість властивостей простору по всім напрямам). Ця однаковість полягає у тому, що при повороті замкненої системи як цілого, її механічні властивості не змінюються. Слід відзначити, що закони збереження енергії, імпульсу, моменту імпульса є точними законами. Вони строго виконуються навіть і в релятивістській механіці.

Закон збереження імпульсу замкненої механічної системи

Нехай є замкнена система з N МТ (тіл). Використаємо другий закон Ньютона в загальному вигляді

Замкнена система значить, що рівнодійна всіх зовнішніх сил дорівнює нулю, тобто . Тоді

(8)

Сумарний імпульс замкненої системи МТ (тіл) є величина постійна.

Динамічні характеристики обертального руху твердого тіла (момент сили, момент інерції та момент імпульсу тіла).

Будь-яке ТТ можна умовно поділити на таку кількість N малих частин, щоб розміри їх були малі порівняно з розмірами цього тіла. Тоді ТТ можна розглядати як систему з N МТ , а маса ТТ дорівнюватиме

(9)

Розглянемо закономірності руху ТТ , закріпленого в нерухомій т.О (початку системи координат) та , коли обертання відбувається навколо осі Z. При вивченні обертального руху ТТ користуються поняттям моменту інерції. Поняття моменту інерції базується на уявленні про масу тіла, як міру інертності. У випадку обертального руху не досить знати, якою є маса тіла. Необхідно також знати, як вона розподілена відносно осі обертання. Наприклад, у фігурному катанні, якщо спортсмен складає руки вздовж тіла, то швидкість його обертання збільшується, коли руки розводить то - сповільнюється. Його маса залишається однаковою в обох випадках. Але розподіл маси відносно осі обертання змінюється. При ціьому якраз і відбувається зміна моменту інерції. Моментом інерції (J_z) системи (тіла) відносно осі обертання Z називається cкалярна ФВ рівна сумі добутків мас N МТ системи на квадрати їх відстаней до розглядуваної осі обертання Z

(10)

для випадку неперервного розподілу мас ця сума зводиться до інтегралу

(11)

інтегрування проводиться по всьому обєму тіла, r – є функцією положення точки з координатами x, y, z. Розмірність моменту інерції в СІ є [J_z]=1кг м²

В обертальному русі момент інерції відіграє роль маси. Для тіл правильної геометричної форми аналітичний вигляд моментів інерції відносно осі обертання визначений - є таблиці.

Якшо відомий момент інерції відносно осі, яка проходить через його центр мас, то момент інерції відносно будь-якої іншої паралельної осі визначається теоремою Штейнера: момент інерції тіла J_a відносно будь-якої осі обертання a дорівнює моменту інерції J_с відносно паралельної осі , яка проходить через центр мас (С) тіла складеному з добутком маси m тіла на квадрат відстані d між осями (рис.5.1)

(12)

Рис.5.1

Таблиця 1.

Тіло	Положення осі обертання	Момент інерції
Полий тонкостінний циліндр радіусом R Суцільний циліндр або диск радіусом R Прямий тонкий стержень довжиною l. Прямий тонкий стержень довжиною l Куля радіусом R	Вісь симетрії Вісь симетрії Вісь перпендикулярна до стержня і проходить через його середину Вісь перпендикулярна до стержня і проходить через його кінець Вісь проходитьчерез центр кулі

Момент сили.

Для характеристики зовнішньої механічної дії на тіло, яка приводить до зміни обертального руху тіла, вводять поняття моменту сили. Розрізняють момент сили відносно точки та осі обертання.

Момент сили відносно нерухомої т.О (центр обертання) – це ФВ, яка визначається векторним добутком радіус-вектора , проведеного із т.О в т. m_i прикладання сили, на силу

(13)

Модуль моменту сили

М_i=F_i r_i sin α (14)

α – кут між і , l – найкоротша відстань між лінією дії сили і т. О – плече сили. - - псевдовектор або аксіальний вектор, його напрям співпадає з напрямом поступального руху правого гвинта при його обертанні від до (рис.5.2.) або за правилом векторного добутку.

Момент сили характеризує здатність сили обертати тіло навколо точки, відносно якої він береться.

Рис.5.2

Момент сили відносно нерухомої осі OZ називається скалярна величина рівна проекції на цю вісь вектора момента сили, визначеного відносно довільної точки О даної осі Z. Значення не залежить від вибору положення т.О на осі Z. Розмірність в СІ =1 Н·м.

Векторна сума моментів всіх зовнішніх сил, які прикладені до тіла називається головним моментом зовнішніх сил відносно т. О.

(15)

Головний момент (результуючий момент) відносно нерухомої осі ОZ системи

характеризує здатність сили обертати систему (тіло) навколо цієї осі та дорівнює алгебраїчній сумі моментів всіх сил системи відносно цієї осі

(16)

а) б)

Рис.5.3

- тангенціальна (дотична ) складова сили , саме ця складова викликає обертання навколо осі Z, R –радіус кола.

У техніці машин і механізмів момент сили часто називають крутильним моментом.

Основне рівняння динаміки обертального руху ТТ

Існують такі осі обертання тіл, які не змінюють своєї орієнтції без дії на них зовнішніх сил. Такі осі називаються вільними або осями вільного обертання. В будь-якому тілі існують три взаємно перпендикулярні осі, які проходять через центр мас тіла, котрі можуть бути вільними осями. Їх називають головними осями інерції. Наприклад, головні осі інерції однoрідного прямокутного паралелепіпеда проходять через центри протилежних граней рис.6.1. Обертання найстійкіше навколо осі з найбільшим моментом інерції. Найлегше відбувається обертання навколо осі з найменшим моментом інерції.

Рис.6.1

Якщо вісь обертання ТТ співпадає з головною віссю інерції, яка проходить через центр мас, має місце векторна рівність

(17)

(18)

Кутове прискорення ТТ, яке обертається навколо нерухомої осі ОZ, прямо пропорційне результуючому моменту відносно цієї осі всіх зовнішніх сил, що діють на тіло і обернено пропорційне моменту інерції тіла відносно тієї ж осі.

Рівняння (14), (15) називають рівнянням динаміки обертального руху ТТ.

Примітка.

У рівняннях (17) і (18) індекс Z означає не проекцію на вісь Z, а те що обертання ТТ і момент інерції розглядаються відносно осі Z/

Закон збереження моменту імпульсу тіла.

Аналогічно тому, як поступальний рух МТ (тіла) характеризується імпульсом тіла, так в обертальному русі є характеристика, яка називається моментом імпульсу МТ (тіла).

М оментом імпульсу ( ) МТ відносно нерухомої т. О називається векторна ФВ рівна векторному добутку радіус-вектора МТ, який проведений із т.О в т. на імпульс цієї МТ , рис.1. Його наgрям визначається правилом векторного добутку/

Рис.7.1

(19)

Модуль моменту імпульса

(20)

Моментом імпульсу МТ відносно нерухомої осі Z називається скалярна величина , яка дорівнює проекції на цю вісь вектора моменту імпульса відносно довільної т. О на осі Z.

Момент імпульсу ТТ відносно т.О є векторна величина рівна векторній сумі моментів імпульса всіх МТ ТТ

(21)

Момент імпульсу ТТ відносно нерухомої осі Z називається скалярна величина , яка дорівнює проекції на цю вісь вектора моменту імпульса відносно довільної т. О на осі Z.

(22)

Значення моменту імпульса не залежить від положення т. О на осі Z.

Закон збереження моменту імпульсу тіла.

Розглянемо обертальний рух МТ , яка рухається по колу радіусом R_i рис.7.1. Тоді

для ТТ момент імпульса відносно осі Z виразиться

(23)

Отримали вираз для моменту інерціїї ТТ відносно осі Z через кутову швидкість обертання. Візьмемо першу похідну від виразу (20) за часом, тоді

.

У загальному вигляді матимемо

(24)

Це є основний закон динаміки обертального руху ТТ (аналогічний по запису для поступального руху ТТ ). Формулювання основного закону динаміки обертального руху ТТ : швидкість зміни моменту імпульсу дорівнює моменту обертальної сили (якщо діє кілька моментів сил, то результуючому моменту)

Рівняння (21) називають ще рівнянням моментів: похідна по часу від моменту імпульсу МТ відносно нерухомого початку (полюса) дорівнює моменту рушійноїсили , що діє відносно того ж полюсу.

Із (21) випливає дуже важливий закон збереження моменту імпульсу: при відсутності моменту зовнішніх сил момент імпульс є величиною постійною. Дійсно , якщо , то

(25)

Згідно (22) можна під дією лише внутрішніх сил системи, змінюючи момент інерції, змінити кутову швидкість обертання ТТ.

Завдання на СРС

1.Таблиця 2. Співставлення основних характеристик поступального і обертального рухів

2. Реактивний рух. Рівняння Мещерського.

Рух деяких тіл супроводжується зміною їх маси. Наприклад, маса ракети зменшується при згоранні пального. Виведемо рівняння руху тіла змінної маси. Якщо в момент часу t маса ракети m , а її швидкість v , то за наступний проміжок часу dt її маса зменшиться на dm і стане рівною m- dm,а швидкість v+dv.Зміна імпульсу системи за час dt буде

- швидкість витікання газів відносно ракети.. В результаті отримаємо

якщо на систему діють зовнішні сили , то і тому

Член називають реактивною силою. Якщо протилежна , то ракета прискорюється, а якщо співпадає . то гальмується. Т.ч. отримали рівняння руху тіла із змінною масою

(26)

Це рівняння вперше виведене І.В.Мещерським і носить його ім’я.

Якщо , то

(27)

чим більша швидкість витікання газів, тим більша може бути кінцева маса при даній стартовій масі ракети

Це формула Ціолковського, фундатора космонавтики.