6. Элементы аналитической геометрии

Уравнение вида

(1)

называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

В (1)  угловой коэффициент, равный тангенсу угла наклона прямой к оси 0х (рис. 9).

Частные случаи уравнения (1).

Если прямая проходит через точку М₀(x₀,y₀) и образует с осью Ох угол (рис. 11), то ее уравнение имеет вид

. (2)

Если в уравнении (2) – произвольное число, то это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку М₀(x₀,y₀), кроме прямой х = х₀, параллельной оси Оy, у которого (рис. 12).

Если прямая проходит через две данные точки М₁(x₁,y₁) и М₂(x₂,y₂), то ее уравнение имеет вид

. (3)

Уравнение вида , где А и В одновременно не равны нулю, называется общим уравнением прямой.

Углом  между двумя прямыми L₁ и L₂ называется угол, на который нужно повернуть прямую L₁ против часовой стрелки, чтобы она совместилась или стала параллельной прямой L₂ (рис. 13).

Пусть заданы две прямые L₁ и L₂:

L₁: ,

L₂: .

Из рисунка видно, что , причем , ( ).

Тогда

. (4)

Если прямые L₁ и L₂ параллельные, то угол  = 0 и tg = 0 и из (4) следует

k₁ = k₂ . (5)

(5) – условие параллельности двух прямых.

Если прямые L₁ и L₂ перпендикулярны, то угол , при этом или

,

откуда

(6)

или

.

Равенство (6) является условием перпендикулярности двух прямых L₁ и L₂.

Если прямые представлены общими уравнениями

L₁: ,

L₂: ,

то условие параллельности (5) запишется в виде

, (7)

а условие перпендикулярности (6) примет вид

. (8)

Если прямые L₁ и L₂ представлены общими уравнениями, то точку пересечения этих прямых можно найти из решения системы

Если дана точка М₀(x₀,y₀) и прямая , то расстояние от этой точки до данной прямой можно определить по формуле

. (9)

Системы линейных неравенств

Пусть прямая в плоскости дана уравнением вида

. (10)

Из определения понятия уравнения прямой следует, что этому уравнению не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на ней. Так как прямая делит плоскость на две полуплоскости, то каждая из не лежащих на ней точек принадлежит одной из двух полуплоскостей.

Чтобы аналитически выразить каждую из этих полуплоскостей, следует установить расположение ее точек относительно заданной уравнением прямой. К примеру, если рассматриваются точки, не лежащие на оси ординат (х = 0), то для их координат это уравнение нарушается, то есть х  0. При этом все точки правой полуплоскости имеют положительные абсциссы, что выражается неравенством х  0, а все точки левой полуплоскости имеют отрицательные ординаты, и это дает неравенство х  0.

В общем случае, когда прямая дается уравнением (10), подстановка координат не лежащих на ней точек приводит к неравенствам или . Определение полуплоскости, соответствующей всякому неравенству при С  0, устанавливается на основании знака С. При совпадении знака С со смыслом неравенства полуплоскость, соответствующая ему, включает и начало координат. Если же знак С противоречит неравенству, то соответствующая ему полуплоскость не включает начала координат.

Если ставится вопрос о геометрическом образе, соответствующему линейному неравенству с двумя переменными без свободного члена, то есть или , то следует ориентироваться уже не на начало координат, которое лежит на прямой, соответствующей уравнению , а на другую произвольно выбранную точку.

Рассмотренное соответствие между линейными неравенствами и полуплоскостями используются в математическом моделировании (линейном программировании). При этом совмещаются неравенства с уравнениями в виде , , что имеет своим образом соответствующую полуплоскость вместе с граничной прямой. Особый интерес представляют системы линейных неравенств.

Задание 6. По координатам вершин треугольника А(1; 2), В(4; 2) и С(5; 6) найти:

1. Уравнение его сторон.

2. Уравнение высоты, опущенной из вершины А.

3. Систему неравенств, определяющих треугольник АВС.

Решение.

1. Сторона АВ определена двумя точками: А(1; 2) и В(4; 2). Используя уравнение прямой через две заданные точки, получим

,

или, после преобразований, имеем

 уравнение АВ в общем виде.

Для стороны ВС:

,

или

.

Для стороны АС:

,

или

.

2. Высота, опущенная из вершины А(1; 2), перпендикулярна стороне ВС, поэтому уравнение высоты составим по точке А и угловому коэффициенту ВС:

, следовательно, угловой коэффициент прямой равен .

Отсюда искомое уравнение высоты АН имеет вид

,

или, после преобразования,

.

3. Треугольник АВС можно рассматривать как пересечение полуплоскостей, из которых первая ограничена прямой АВ, вторая – прямой ВС, третья – прямой АС (рис. 14).

Эти полуплоскости определяются неравенствами

Знак неравенства устанавливается по знаку свободного члена.