8. Комплексные числа
Комплексным числом называется выражение вида
,
(1)
где x и y – действительные числа, i – символ, называемый мнимой единицей и определяемый равенством
или
.
(2)
Первое число x
пары
называется действительной или вещественной
частью комплексного числа и обозначается
символом
,
а второе число этой пары называется
мнимой частью комплексного числа z
и обозначается символом
.
Если
,
то число
называется чисто мнимым, если
,
то получается действительное число
.
Два комплексных
числа
и
,
отличающиеся только знаком мнимой
части, называются сопряженными.
Два комплексных
числа
и
считаются равными
тогда и только тогда, когда
,
.
Комплексное число z равно нулю тогда и только тогда, когда и .
Если комплексное число записано в виде (1), то говорят, что оно записано в алгебраической форме.
Всякое комплексное
число можно изобразить на плоскости
x0y в виде
точки
с координатами x и y.
Обратно, каждой точке
плоскости x0y
соответствует комплексное число
.
П
лоскость,
на которой изображаются комплексные
числа, называется плоскостью комплексного
переменного z (рис. 35),
при этом на плоскости ставится символ
.
Числу
ставится в соответствие начало координат.
При таком представлении комплексных
чисел действительные числа изображаются
точками оси абсцисс, чисто мнимые –
точками оси ординат. Поэтому ось абсцисс
называется действительной осью, ось
ординат – мнимой осью.
Комплексное число z можно также изобразить вектором, начало которого находится в начале координат, а конец – в точке z, при этом x и y являются проекциями этого вектора на действительную и мнимую оси (рис. 35).
Комплексное число
z можно представить в
тригонометрической форме. Пусть
и
полярные координаты точки
.
Тогда, как следует из рис. 35,
,
.
Поэтому
.
(3)
Форма (3) называется тригонометрической формой комплексного числа z.
Число называется модулем комплексного числа z, - аргументом. Они обозначаются так
,
.
Аргумент комплексного
числа считается положительным, если он
отсчитывается от положительного
направления оси 0x против
часовой стрелки, и отрицательным при
противоположном направлении отсчета.
Аргумент
определяется не однозначно, а с точностью
до слагаемого
,
где k – любое целое число.
Удобно через
обозначать значение аргумента,
заключенного в пределах
.
Тогда
,
.
Сопряженные
комплексные числа
и
имеют равные модули
,
а их аргументы равны по абсолютной
величине, но отличаются знаком:
.
Любое действительное число А может быть представлено в форме (3), а именно
Модуль комплексного
числа 0 равняется нулю, т. е.
.
В качестве аргумента нуля можно принять
любой угол
,
т. к.
.
Определим операции над комплексными числами.
1. Суммой
комплексных чисел
и
называется комплексное число, определяемое
равенством
.
(4)
Из формулы (4) следует, что сложение комплексных чисел, изображенных векторами, производится по правилу сложения векторов (рис. 36).
2. Разностью
двух комплексных чисел
и
называется такое комплексное число,
которое, будучи сложено с
,
дает в сумме комплексное число
.
(5)
Модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию между точками, изображающими эти числа на плоскости (рис. 37).
.
3. Произведением комплексных чисел и называется комплексное число
.
(6)
Нетрудно видеть, что (6) получается по правилам умножения алгебраических многочленов с учетом того, что .
Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме
,
,
то
.
(7)
Из (7) следует, что модуль произведения равен произведению модулей, а аргумент – сумме аргументов сомножителей, т. е.
,
.
4. Деление
комплексных чисел определяется как
действие, обратное умножению. Комплексное
число
называется частным комплексных чисел
и
,
если
.
Отсюда получаем
.
(8)
Формула (8) может
быть получена умножением числителя и
знаменателя дроби
на
.
Задание 8.
1. Даны
комплексные числа
,
в алгебраической форме. Найти
,
,
,
.
Результат записать в алгебраической
форме.
Решение. Используя формулы (4) и (5), получаем
Пользуясь формулой (6), найдем
.
Для нахождения
частного, умножим числитель и знаменатель
этой дроби на число
,
сопряженное знаменателю. В результате
получим
.