7. Кривые второго порядка

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат.

Определение. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка

(1.14)

где - вещественные числа, и хотя бы одно из чисел отлично от нуля.

Определение. Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности (рис. 1.3.). Уравнение окружности с центром в точке имеет вид:

(1.15)

Рис.1.3 .Окружность.

► Пример 7.1. Изобразить кривую .

Решение

Выделив полные квадраты, получим . Таким образом, точка - является центром данной окружности, а ее радиус равен 2 (рис. 1.4).

Рис.1.4.Окружность, заданная уравнением .◄

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная (рис. 1.5). Уравнение эллипса имеет вид: (1.16)

Рис.1.5.Эллипс

Фокусами в выбранной системе координат являются точки , .

Определение. Точки пересечения эллипса с его осями симметрии называются вершинами эллипса, центр симметрии – центром эллипса, отрезок между двумя вершинами, содержащий фокусы, называется большой осью эллипса, половина его длины – большой полуосью эллипса. Отрезок между вершинами на оси симметрии, не содержащей фокусов, называется малой осью эллипса, половина его длины – малой полуосью. Величина называется эксцентриситетом эллипса.

Если эллипс задан каноническими уравнениями, то его вершины имеют координаты , , , , большая полуось равна а, малая полуось равна b . Величина c, являющаяся половиной расстояния между фокусами, определяется из формулы (1.17).

► Пример7.2. Построить кривую . Найти фокусы и эксцентриситет.

Решение

Разделим обе части уравнения на 36. Получаем уравнение . Это – каноническое уравнение эллипса, а=3, b=2. Делаем чертеж (рис. 1.6)

Рис.1.6.Эллипс, заданный уравнением

Из соотношения (1.17) находим , . Фокусы , , эксцентриситет .◄

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная (рис. 1.7). Уравнение гиперболы имеет вид (1.18). Величина b определяется из формулы (1.19)

Рис.1.7.Гипербола

Определение. Точки пересечения гиперболы, заданной каноническим уравнением (1.18) с осью Ох называются вершинами гиперболы, отрезок между ними называется действительной осью гиперболы. Отрезок оси ординат между точками и называется мнимой осью. Числа а и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Начало координат называется ее центром. Величина называется эксцентриситетом гиперболы. Гиперболы и   называются сопряженными. Прямые называют асимптотами гиперболы.

► Пример 7.3. Построить гиперболу , найти ее фокусы и эксцентриситет.

Решение

Разделим обе части уравнения на 4. Получаем уравнение , а=1, b=2.

Проводим асимптоты и строим гиперболу (рис. 1.8).

Рис.1.8 Гипербола

Из формулы (1.19) получим . Тогда фокусы , , эксцентриситет . ◄

Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, лежащей в той же плоскости и называемой директрисой параболы. Уравнение параболы имеет вид . (1.20)

Рис.1.9 .Парабола

Парабола имеет фокус и директрису , фокальный радиус .

Парабола симметрична относительно оси Оу.

► Пример 7.4. Построить параболу . Найти ее фокус и директрису.

Решение

Уравнение является каноническим уравнением параболы. Значит , . Осью параболы служит ось Ох, вершина находится в начале координат, ветви параболы направлены вдоль оси Ох. Для построения найдем несколько точек параболы. Для этого придаем значения переменной у и находим значения х. Возьмем точки , . Учитывая симметрию относительно оси Ох, рисуем кривую (рис. 1.10)

Рис.1.10.Парабола, заданная уравнением

Фокус F лежит на оси Ох на расстоянии от вершины, то есть имеет координаты . Директриса l имеет уравнение , то есть . ◄