4.1.3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Основные понятия

1. Пусть функция определена на интервале (a; b). Производной функции в точке x₀ называется предел отношения приращения функции f(x₀) = f(x₀ + x) – f(x₀) в точке x₀ к приращению аргумента x, когда , т. е. .

2. Производная от функции в точке имеет геометрический смысл углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции в точке (рис. 2).

Рис. 2

Уравнение касательной: .

Уравнение нормали: .

3. Производная от пути по времени при прямолинейном движении материальной точки по закону S = S(t) имеет механический смысл мгновенной скорости в момент времени t = t₀, т. е. .

4. Выражение называется дифференциалом функции y = f(x) в точке x = x₀ и обозначается символом , где по определению обозначено dx = x.

Дифференциал в произвольной точке х равен: .

5. Дифференциал функции y = f(x) имеет геометрический смысл части приращения функции в точке х₀ при перемещении не по графику функции, а по графику касательной, проведенной в точке (х₀; f(x₀)) (рис. 2).

Таблица производных

6. . 7. ,  – любое.

8. . 9. .

10. . 11. .

12. . 13. .

14. . 15. .

16. . 17. .

18. . 19. .

Основные правила дифференцирования

20. . 21. .

22. , C = const. 23. .

24. Дифференцирование сложной функции: пусть сложная функция y = f((x)) задана на интервале (a; b) и х₀  (a; b), тогда если внутренняя функция t = (x) в точке х₀ имеет конечную производную , а внешняя функция y = f(t) в точке t₀ = (x₀) имеет конечную производную , то сложная функция y = f((x)) в точке х₀ имеет конечную производную, которая вычисляется по правилу:

.

25. Дифференцирование функции, заданной параметрически: если функция задана параметрически то производная вычисляется по формуле: .

26. Дифференцирование функции, заданной неявно: если функция задана неявно уравнением , то для нахождения ее производной дифференцируют обе части этого уравнения, считая сложной функцией от и полученное уравнение разрешают относительно .

Производные и дифференциалы высших порядков

27. Пусть функция y = f(x) на интервале (a; b) имеет непрерывную производную , которая называется производной первого порядка. Производная от производной первого порядка называется производной второго порядка и обозначается . Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка и обозначается . Аналогично определяются производные более высоких порядков.

28. Производная второго порядка от пути по времени при прямолинейном неравномерном движении материальной точки по закону S = S(t) имеет механический смысл мгновенного ускорения в момент времени t₀, т. е. .

29. Производная второго порядка от функции, заданной параметрически находится по формуле: .

30. Для нахождения производной второго порядка функции, заданной неявно нужно сначала найти первую производную (см. п. 26), а затем продифференцировать обе ее части по переменной х, считая у сложной функцией от х и затем упростить полученное выражение с помощью первой производной.

31. Дифференциал от дифференциала первого порядка называется дифференциалом второго порядка и обозначается . Дифференциал от дифференциала второго порядка называется дифференциалом третьего порядка и обозначается . Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков.

Применения производной

32. Если на некотором промежутке , то на этом промежутке функция постоянна; если , то функция возрастает; если , то функция убывает.

33. Если функция непрерывна в точке и при переходе через точку первая производная меняет знак с «+» на «–», то в точке функция имеет максимум; если первая производная меняет знак с «–» на «+», то в точке функция имеет минимум.

34. График дифференцируемой на интервале (a; b) функции y = f(x) называется выпуклым, если на этом интервале он расположен ниже любой своей касательной (рис. 3, а) и называется вогнутым, если он расположен выше любой своей касательной (рис. 3, б).

Если на некотором промежутке , то на этом промежутке функция вогнута; если , то функция выпукла.

35. Если функция непрерывна в точке и при переходе через точку вторая производная меняет знак, то точка – точка перегиба.

а) б)

Рис. 3

36. Для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке нужно:

1) найти критические точки – точки, в которых производная функции , не существует или равна бесконечности;

2) найти значения функции в критических точках, принадлежащие отрезку и на концах отрезка;

3) выбрать среди полученных чисел наибольшее или наименьшее.

37. Для исследования функции и построения ее графика пользуются следующей схемой:

1) определить область определения функции, найти точки разрыва;

2) проверить четность, нечетность, периодичность графика;

3) определить наличие вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот;

4) найти производную , определить интервалы возрастания , убывания и критические точки ( или не существует) функции, найти экстремумы;

5) найти вторую производную , определить интервалы выпуклости вверх , выпуклости вниз и точки перегиба графика;

6) если необходимо, найти дополнительные точки;

7) используя всю полученную информацию, строят график функции .