4.1.4. Вектор-функция скалярного аргумента

Основные понятия

1. Пусть дан радиус-вектор , концом которого является точка A(x; y; z). Выражая этот вектор через проекции на оси координат, получим

. (1)

Пусть проекции вектора есть функции некоторого параметра t:

(2)

тогда формула (1) примет вид

или коротко . (3)

При изменении t изменяются x, y, z – координаты точки А и, следовательно, изменяется вектор по величине и по направлению, поэтому вектор называют вектор-функцией скалярного аргумента t.

Линию в пространстве, которую описывает точка А – конец вектора называют годографом этого вектора. Уравнения (2) называются параметрическими уравнениями линии в пространстве, а уравнение (3) – векторным уравнением линии в пространстве.

2. Пусть , , , тогда говорят, что вектор есть предел вектора , и пишут

. (4)

3. Производной вектор-функции по скалярному аргументу t называют предел отношения приращения вектор-функции к приращению t скалярного аргумента t, т. е.

(5)

и обозначают символом или .

Таким образом, по определению

. (6)

4. Производная вектор-функции является новой вектор-функцией и называется производной первого порядка. Производная от производной называется производной второго порядка и обозначается или , т. е.

. (7)

Аналогично определяются производные вектор-функций более высоких порядков. Производные вектор-функций порядка старше первого называются производными высших порядков.

5. Касательная к пространственной кривой определяется так же как и в случае плоской кривой. Так как производная – это вектор, направленный по касательной к пространственной кривой в точке касания M(x(t₀); y(t₀); z(t₀)), то уравнения касательной к кривой в этой точке (при t = t₀) имеют вид:

. (8)

6. Так же как и в случае плоской кривой, прямая, перпендикулярная к касательной и проходящая через точку касания, называется нормалью к пространственной кривой в данной точке. Нормалей к данной пространственной кривой в данной точке можно провести бесчисленное множество. Все они лежат в плоскости, перпендикулярной к касательной прямой. Эта плоскость называется нормальной плоскостью. Уравнение нормальной плоскости к кривой в точке t = t₀ имеет вид:

. (9)

7. Пусть дана кривая, которая не пересекает саму себя и имеет касательную в каждой своей точке. Проведем две касательные к кривой в некоторых точках А и В и обозначим через  угол поворота касательной при переходе от точки А к точке В (рис. 4). Этот угол называется углом смежности дуги АВ. У двух дуг, имеющих одинаковую длину, больше изогнута та дуга, у которой угол смежности больше. С другой стороны, степень искривленности дуг различной длины не характеризуется только соответствующим углом смежности. Для этого используют кривизну линии, которая характеризует форму кривой, степень ее искривленности, изогнутости.

Рис. 4

Кривизной пространственной кривой в точке А называется предел отношения угла смежности  к длине дуги АВ = s, когда длина этой дуги стремится к нулю (когда точка В приближается к точке А), т. е.

, (10)

где величина R, обратная кривизне линии в данной точке, называется радиусом кривизны в этой точке.

Кривизна пространственной линии в точке t = t₀ определяется по формуле:

, (11)

где , .

4.2. Контрольные задания

1. Дано комплексное число z. Требуется:

1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах;

2) найти .

1.  . 2.  . 3.  .

4.  . 5.  . 6.  .

7.  . 8.  . 9.  .

10.  .

2. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

1. 1)  при: а)  ; б)  ; в)  ;

2)  ; 3)  .

2. 1)  при: а)  ; б)  ; в)  ;

2)  ; 3)  .

3. 1)  при: а)  ; б)  ; в)  ;

2)  ; 3)  .

4. 1)  при: а)  ; б)  ; в)  ;

2)  ; 3)  .

5. 1)  при: а)  ; б)  ; в)  ;

2)  ; 3)  .

6. 1)  при: а)  ; б)  ; в)  ;

2)  ; 3)  .

7. 1)  при: а)  ; б)  ; в)  ;

2)  ; 3)  .

8. 1)  при: а)  ; б)  ; в)  ;

2)  ; 3)  .

9. 1)  при: а)  ; б)  ; в)  ;

2)  ; 3)  .

10. 1)  при: а)  ; б)  ; в)  ;

2)  ; 3)  .

3. Задана функция y = f(x). Построить схематически график функции, вычислив пределы слева и справа в точке разрыва и предел на бесконечности.

1.  . 2.  . 3.  .

4.  . 5.  . 6.  .

7.  . 8.  . 9.  .

10.  .

4. Найти производные заданных функций.

1. 1)  ; 2)  ; 3)  .

2. 1)  ; 2)  ;

3)  .

3. 1)  ; 2)  ;

3)  .

4. 1)  ; 2)  ;

3)  .

5. 1)  ; 2)  ;

3)  .

6. 1)  ; 2)  ;

3)  .

7. 1)  ; 2)  ;

3)  .

8. 1)  ; 2)  ;

3)  .

9. 1)  ; 2)  ;

3) .

10. 1)  ; 2)  ;

3)  .

5. Найти производные и функции, заданной параметрически.

1.  2.  3. 

4.  5.  6. 

7.  8.  9. 

10. 

6. Провести полное исследование функции и построить ее график.

1.  . 2.  . 3.  .

4.  . 5.  . 6.  .

7.  . 8.  . 9.  .

10.  .

7. Найти уравнения касательной, уравнение нормальной плоскости и вычислить кривизну линии в точке t₀.

1.  , .

2.  , .

3.  , .

4.  , .

5.  , .

6.  , .

7.  , .

8.  , .

9.  , .

10.  , .

4.3. Пример решения контрольной работы

Задание 1. Дано комплексное число . Требуется:

1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах;

2) найти .

Решение. 1) Для записи комплексного числа в алгебраической форме z = x + yi умножим числитель и знаменатель дроби на выражение 1 + i, сопряженное знаменателю и упростим:

.

Для записи числа в тригонометрической форме z = r(cos +sin i) найдем r и :

,

.

Следовательно, получим .

2) Воспользуемся формулой Муавра:

, где k = 0, 1, 2, …, n – 1.

Полагая k = 0, 1, 2, получим:

;

;

.

Это означает, что число имеет три различных значения.

Ответ: 1)  – алгебраическая форма комплексного числа, – тригонометрическая форма комплексного числа; 2)  , ,

.

Задание 2. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

1)

2) ; 3) .

Решение. 1) Данный предел в зависимости от значений вычисляется разными способами.

а)  . Найдем значения функций, стоящих в числителе и в знаменателе дроби, в точке : . Так как полученные значения конечны и отличны от нуля, то по теореме о пределе частного, учитывая непрерывность функций, предел равен значению частного в предельной точке: ;

б)  . Найдем новые значения и в точке : . Так как числитель и знаменатель дроби оба равны нулю, то заданное отношение в точке является неопределенностью вида и применять теорему о пределе частного нельзя. Для нахождения предела в этом случае выделим в числителе и знаменателе критический множитель , создающий неопределенность вида при . С этой целью найдем корни уравнений и , затем разложим квадратные трехчлены на линейные множители и после сокращения дроби на общий критический множитель найдем предел оставшегося выражения, применяя теорему о пределе частного как в случае пункта а):

;

в)  . При имеем и , т. е. заданное отношение при является неопределенностью вида и теорему о пределе частного применять нельзя. Для нахождения в этом случае предела дроби опять выделим в числителе и знаменателе критический множитель, который представляет собой старшую степень переменной . В данном случае это есть . После сокращения дроби на критический множитель применим теорему о пределе частного и следующие равенства, известные из теории пределов: , , .

Получим:

.

2) Найдем значения функций и , стоящих в числителе и знаменателе дроби, в точке : , . Следовательно, заданное отношение при является неопределенностью вида . Для нахождения предела отношения выделим в числителе и в знаменателе критический множитель , создающий неопределенность, и сократим на него дробь. С этой целью умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное знаменателю и используем формулу сокращенного умножения разности квадратов: :

.

По теореме о пределе корня , получим:

.

3)  . Найдем значения функций и в точке : и . Следовательно, заданное отношение представляет собой при неопределенность вида . Вычислим этот предел, применяя формулу первого замечательного предела: и равенство , вытекающее из непрерывности в точке функции . С этой целью преобразуем заданный предел следующим образом:

.

Ответ: 1), а) ; б) ; в) . 2)  . 3) 3.

Задание 3. Задана функция . Построить схематически график функции, вычислив пределы слева и справа в точке разрыва и предел на бесконечности.

Решение. Рассмотрим точку х = 1. Найдем пределы слева и справа функции в данной точке:

,

.

Так как предел справа равен бесконечности, то х = 1 – точка разрыва второго рода.

Предел функции на бесконечности равен:

.

Строим схематически график функции , используя полученные результаты (рис. 5).

Рис. 5

Задание 4. Найти производные заданных функций.

1) ; 2) ;

3) .

Решение. 1) .

Используем правило дифференцирование суммы и правила дифференцирования сложной функции вида , где , а также таблицу производных. Получим:

.

2)  .

Используем правило дифференцирование суммы и правила дифференцирования сложных функций вида

,

где , а также таблицу производных. Получим:

.

3)  .

Используем правило дифференцирования суммы , правило дифференцирования произведения и правила дифференцирования сложных функций вида

,

где , а также таблицу производных. Получим:

.

Ответ: 1)  ; 2)  ; 3)  .

Задание 5. Найти производные и функции заданной параметрически.

Решение. Производная функции , заданной параметрически, вычисляется по формуле:

.

Вторую производную найдем по формуле:

.

Ответ:  , .

Задание 6. Провести полное исследование функции и построить ее график.

Решение. 1) Найдем область определения, интервалы непрерывности и точки разрыва функции.

Функция определена на всей числовой оси, кроме точки , т. е. . В каждой точке области определения функция непрерывна. Точка есть точка разрыва функции, т. к. знаменатель функции в этой точке равен нулю, а числитель отличен от нуля.

2) Выясним четность, нечетность и периодичность функции.

, т. е. . Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

Функция непериодична, т. к. , где Т – некоторое действительное число.

3) Найдем асимптоты графика функции (вертикальные, горизонтальные и наклонные):

а

) Вертикальные асимптоты.

Так как точка оси Ox есть точка разрыва функции, то прямая линия , перпендикулярная оси Ox, есть вертикальная асимптота графика. Исследуем поведение графика функции вблизи вертикальной асимптоты по односторонним пределам функции. Возьмем слева от точки близкое значение, например, и вычислим в нем значение функции и ее знак:

.

Так как это значение отрицательно, и функция слева от точки непрерывна, то она сохраняет знак и .

Теперь возьмем справа от точки близкое значение, например, :

.

Так как это значение положительно, и функция справа от точки непрерывна, то при переходе к пределу функция сохраняет знак и .

Таким образом, слева от точки функция отрицательна, а справа от точки – положительна и имеет односторонние пределы, равные бесконечности. Такая точка называется точкой разрыва второго рода (или точкой бесконечного разрыва функции);

б) Горизонтальные асимптоты.

Для нахождения горизонтальной асимптоты нужно найти предел функции при , раскрывая неопределенность вида . Если существует конечный предел , то прямая, определяемая уравнением , есть горизонтальная асимптота графика. Если же этот предел равен бесконечности, то горизонтальной асимптоты нет. Найдем предел:

.

Предел равен бесконечности, значит горизонтальной асимптоты нет;

в) Наклонные асимптоты.

Наклонная асимптота имеет уравнение прямой линии с угловым коэффициентом вида , где , . Если , то наклонной асимптоты не существует.

Найдем оба указанных предела для заданной функции:

,

.

Таким образом, график имеет наклонную асимптоту .

4) Найдем интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума и экстремумы функции.

Находим сначала первую производную функции:

.

Так как точка , в которой не существует, не принадлежит области определения функции, то критическими точками первого рода являются лишь точки, в которых или , т. е. .

Критические точки и точка разрыва разбивают ось Ox на 4 интервала монотонности функции. По знаку производной в этих интервалах определяем интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума и экстремумы функции. Полученные данные заносим в табл. 1.

Таблица 1

						1
	+	0	–	не сущ.	–	0	+
		–8 max		не сущ.		0 min	

5) Найдем интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба.

Находим сначала вторую производную функции:

.

Так как точка не принадлежит области определения функции и , то критических точек второго рода нет.

Точка разрыва разбивают числовую ось Ox на 2 интервала, в которых по знаку второй производной определяем интервалы выпуклости и вогнутости графика. Полученные данные заносим в табл. 2.

Таблица 2

	–	не сущ.	+
	 выпуклый	не сущ.	 вогнутый

6) Находим точки пересечения графика функции с осями координат, решая две системы уравнений.

С осью Ox: А(1; 0) – точка пересечения графика с осью Ox.

С осью Oy: В(0; 1) – точка пересечения графика с осью Oу.

7) Используя результаты исследования, строим график функции в такой последовательности: а) строим вертикальную асимптоту и наклонную асимптоту , подписываем их; б) изображаем максимум функции в точке и минимум в точке ; в) наносим на осях точки А(1; 0) и В(0; 1) пересечения графика с осями координат; г) нанесенные на плоскость точки соединяем гладкими линиями с учетом табл. 1 и 2 и поведения функции вблизи асимптот (рис. 6).

Задание 7. Найти уравнения касательной, уравнение нормальной плоскости и вычислить кривизну линии в точке t₀ = 1.

Решение. 1)Для составления уравнений касательной в точке t₀ = 1 воспользуемся формулой . Имеем:

, , ;

, ;

, ;

, .

Таким образом, получим: .

Рис. 6

2) Запишем уравнение нормальной плоскости в точке t₀ = 1 по формуле и упростим:

или или .

3) Для нахождения кривизны линии в точке t₀ = 1 применим формулу , где , . Имеем:

;

;

,

;

,

.

Таким образом, окончательно получим: .

Ответ: 1)  – уравнения касательной в точке t₀ = 1; 2)  – уравнение нормальной плоскости в точке t₀ = 1.

4.4. Вопросы для самопроверки

1. Основные понятия о комплексных числах. Геометрическое изображение комплексного числа. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексных чисел.

2. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

3. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Формулы Муавра.

4. Действия над комплексными числами в показательной форме.

5. Предел переменной. Окрестность точки. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы.

6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, ограниченные функции. Их свойства.

7. Основные теоремы о пределах функций. Неопределенности.

8. Теорема о сжатой функции. Первый замечательный предел.

9. Основные понятия о числовых последовательностях.

10. Число е. Второй замечательный предел.

11. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва. Свойства непрерывных функций.

12. Свойства функций непрерывных на отрезке.

13. Определение производной функции в точке и на интервале.

14. Геометрический и механический смысл производной.

15. Дифференцируемость и непрерывность функций. Дифференциал функции.

16. Формулы и правила дифференцирования функций.

17. Дифференцирование сложной функции, неявной функции и функции, заданной параметрически.

18. Производные и дифференциалы высших порядков.

19. Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия экстремума.

20. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

21. Асимптоты графика функции.

22. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

23. Полное исследование функции и построение ее графика.

24. Понятие вектор-функции скалярного аргумента.

25. Как определяется предел и производная вектор-функции скалярного аргумента?

26. Понятие кривизны плоской линии. Формула для ее вычисления.

27. Касательная и нормальная плоскость пространственной линии в точке. Их уравнения.