1.3. Контрольные вопросы

1. Объясните назначение свойства Text для однострочного и многострочного редактора. Как можно изменить значение этого свойства?

2. Как можно получить заготовку Delphi на процедуру, как реакцию на событие onClick для объекта Batton1?

3. Сформулируйте постановку задачи аппроксимации функций.

4. Понятие интерполяции, как вида точечной аппроксимации. Основное отличие от других способов аппроксимации функций.

5. Каким образом можно повысить точность производимой аппроксимации?

6. Как осуществить глобальную интерполяцию заданной табличной функции?

7. С какой целью при программировании вычислений значений полиномов применяют схему Горнера?

Лабораторная работа № 2

Программирование алгоритмов решения дискретных моделей на примерах задач численного интегрирования. Организация Windows-приложения с использованием объектов классов TImage, TPanel для оформления визуальной части проекта. Использование блоков защиты фрагментов программ try…except, try…finally

Цель работы

1. Освоить понятие сходимости в методах дискретизации. Запрограммировать и отладить алгоритм для вычисления определенного интеграла с заданной точностью.

2. Изучить работу с графическим компонентом Image и объединяющей панелью Panel , применить их в своем приложении.

3. Научиться использовать блоки try…except, try…finally для защиты фрагментов программ.

2.1. Краткие сведения из теории

Численное интегрирование применяют в тех случаях, когда интеграл не удается вычислить в аналитическом виде или когда этот вид достаточно сложен. А также, когда нужно найти интеграл от табулированной функции, получаемой в эксперименте.

В общем виде задача состоит в нахождении величины

.

Универсальные методы интегрирования основаны на аппроксимации подынтегральной функции , с помощью интерполяционных многочленов.

В этом случае определенный интеграл может быть представлен в форме:

,

где – узлы интерполяции;

– коэффициенты, зависимые от смысла формулы и выбора узлов;

– погрешность формулы.

Чтобы не иметь дело с полиномами высоких степеней, строят интерполяционные полиномы не для всего отрезка , а для отдельных его частей. На каждой части функция может быть заменена полиномами нулевой (формула прямоугольников), первой (формула трапеций), второй (формула Симпсона) степени. Величина интеграла на отрезке получается суммированием результатов, вычисленных для всех частей деления .

2.1.1. Метод прямоугольников

По методу прямоугольников кривая подынтегральной функции заменяется ломанной линией, отрезки которой параллельны оси абсцисс. В данном методе используется кусочно-постоянное интерполирование. Формула метода прямоугольников для случая левых прямоугольников:

, где .

Формула для случая правых прямоугольников:

, где .

Формула легко программируется. Точность метода порядка , где . Широко распространенным и более точным является вид формулы прямоугольников, использующий функции в средних точках элементарных отрезков (в полуцелых узлах). Формула интегральной суммы по методу средних точек имеет вид:

, (2.1)

где , .

В дальнейшем под методом прямоугольников будем понимать последний алгоритм.

Погрешность метода прямоугольников:

, где – максимальная производная второго порядка.