Вычисление определителя
Легко вычисляется определитель треугольной матрицы: он равен произведению ее диагональных элементов.
Для
приведения матрицы к прямоугольному
виду используем прямой ход метода
Гаусса. Знак определителя меняется на
противоположный при перестановке его
строк или столбцов. Значение определителя
после приведения матрицы
к треугольному виду вычисляется по
формуле:
.
Здесь
элементы
берутся из преобразованной треугольной
матрицы. Знак зависит от того, чётной
или нечётной была суммарная перестановка
строк матрицы при её приведении к
треугольному виду (для получения
ненулевого ведущего элемента на каждом
этапе исключения).
Комментарий к блок-схеме метода Гаусса с поиском ненулевого ведущего элемента
Исходными
данными при составлении алгоритма
являются порядок системы
и массив действительных переменных –
коэффициентов и свободных членов матрицы
,
состоящий из
строк и
столбцов, причём свободные члены
размещаются в конце каждой
-ой
строки, т.е. обозначаются как элементы
массива
индексами (
).Промежуточные
и окончательные значения элементов в
процессе преобразования матрицы
располагаются и том же массиве. Значения
диагональных элементов матрицы
коэффициентов перед началом преобразования
строк, присваивается промежуточной
переменной
и сохраняется до окончания преобразования
строки.
Результаты
вычисления неизвестных
накапливаются в одномерном массиве
,
содержащем
элементов.
Прямой ход метода Гаусса
Да
Поиск ведущего ненулевого
элемента
Обратный
ход метода Гаусса
Да
Нет
Да
Нет
Поиск
закончен
Рис. 3.1. Блок-схема прямого хода метода Гаусса с поиском ненулевого ведущего элемента
Обратный
ход
Нет
Вычисления окончены
Рис. 3.2. Блок-схема обратного хода метода Гаусса
Блок-схема алгоритма выбора главного элемента
Эта
схема состоит в том, что требование
неравенства нулю диагональных элементов
,
на которые происходит деление в процессе
исключения, заменяется более жестким:
из всех оставшихся в
-ом
столбце элементов нужно выбрать
наибольший по модулю и переставить
уравнения так, чтобы этот элемент
оказался на месте элемента
.
Да
Нет
Да
Здесь:
– номер
наибольшего по абсолютной величине
элемента матрицы с номером
,
– текущий
номер элемента, с которым происходит
сравнение.
Нет
Да
Нет
Нет
Да
Нет
Рис.3.3. Блок-схема алгоритма выбора главного элемента